Question

已知分别以d₁，d₂为公差的等差数列{a_n}，{b_n}，满足a₁=1，b₂₀₀₉=409．
（Ⅰ）若d₁=1，且存在正整数m，使得a_m²=b_m+2009-2009，求d₂的最小值；
（Ⅱ）若a_k=0，b_k=1600且数列a₁，a₂，…a_k-1，b_k，b_k+1，b_k+2…，b₂₀₀₉，的前项n和S_n满足S₂₀₀₉=2012S_k+9045，求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）要求d₂的最小值，我们可根据a_m²=b_m+2009-2009，数列{a_n}，{b_n}分别以d₁，d₂为公差的等差数列及a₁=1，b₂₀₀₉=409．我们可以将d₂构造为关于m的函数，由于m为正整数，故可以用基本不等式求出d₂的最小值．
（2）由已知中a_k=0，b_k=1600且数列a₁，a₂，…a_k-1，b_k，b_k+1，b_k+2…，b₂₀₀₉，的前项n和S_n满足S₂₀₀₉=2012S_k+9045，我们可以得到一个关于k的方程，解方程求出K值后，易得数列{a_n}的公差，代入即可求出{a_n}的通项公式

解答：证明：（Ⅰ）∵a_m²=b_m+2009-2009，
∴[a₁+（m-1）d₁]²=b₂₀₀₉+md₂-2009，
即m²=409+md₂-2009，
∴d2=m+

1600

m

≥2

m• 1600 m

=80．
等号当且仅当m=

1600

m

，
即m=40时成立，
故m=40时，[d₂]_min=80．
解：（Ⅱ）∵a_k=0，b_k=1600，a₁=1，b₂₀₀₉=409
∴S₂₀₀₉=（a₁+a₂+…+a_k-1）+（b_k+b_k+1+…+b₂₀₀₉）
=

(a1+ak-1)k

2

+

(bk+b2009)(2009-k+1)

2

=

k

2

+

2009(2010-k)

2

，
∵S₂₀₀₉=2012S_k+9045
=2012

(a1+ak)k

2

+9045=2012

k

2

+9045
∴2012•

k

2

+9045=

k

2

+

2009(2010-k)

2

∴4020k=2009×2010-18090，
∴2k=2009-9，
∴k=1000
故得a₁₀₀₀=0，又a₁=1，∴d1=-

1

999

，
∴an=a1+(n-1)d2=

1000

999

-

1

999

n．
因此{a_n}的通项公式为an=

1000

999

-

1

999

n．

点评：解答特殊数列（等差数列与等比数列）的问题时，根据已知条件构造关于基本量的方程，解方程求出基本量，再根据定义确定数列的通项公式及前n项和公式，然后代入进行运算．