Question

10、已知实数x满足|x|＜1，n是大于1的整数，记a=（1+x）ⁿ+（1-x）ⁿ，则（　　）

A、a＜2ⁿ

B、a＞2ⁿ

C、a=2ⁿ

D、a与2ⁿ的大小不定

Answer 1

分析：利用二项展开式的通项公式求出a=（1+x）ⁿ+（1-x）ⁿ，，利用|x|＜1，列出不等关系即可得出正确选项．

解答：解：由（1+x）ⁿ=C_n⁰+C_n¹x+…+（-1）²C_n¹x²+（-1）ⁿC_nⁿxⁿ
及由（1-x）ⁿ=C_n⁰-C_n¹x+…+（-1）²C_n¹x²+（-1）ⁿC_nⁿxⁿ
a=（1+x）ⁿ+（1-x）ⁿ，=2（C_n⁰+（-1）²C_n¹x²+…+（-1）ⁿC_nⁿxⁿ）
＜2（C_n⁰+（-1）²C_n¹+…+（-1）ⁿC_nⁿ）=2×2^n-1=2ⁿ．
即：a＜2ⁿ
故选A．

点评：本题考查利用二项展开式解决展开式的问题、利用二项式系数的性质解决的系数和问题．