Question

17．设f（x）=$\sqrt{x}$-alnx，a∈R
（1）若a=2，求f（x）的最值；
（2）若f（x）存在最小值，求其最小值g（a）的解析式．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，求出单调区间，可得极小值，也为最小值，无最大值；
（2）求出导数，对a讨论，结合函数的单调性，可得极值，也为最值．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{x}$-2lnx的导数为f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$-$\frac{2}{x}$=$\frac{\sqrt{x}-4}{2x}$，
当x＞16时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当0＜x＜16时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有x=16处取得极小值，且为最小值4-2ln16，无最大值；
（2）f′（x）=$\frac{\sqrt{x}-2a}{2x}$，x＞0．
当a＞0时，当x＞4a²时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当0＜x＜4a²时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有x=4a²处取得极小值，且为最小值g（a）=2a-2aln2a；
当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，f（x）无最小值．
综上可得，f（x）的最小值g（a）=2a-2aln2a，a＞0．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查分类讨论的思想方法，以及运算能力，属于中档题．