Question

18、已知矩形ABCD，AB=2BC=2a，AB、CD的中点M、N，以MN为折线翻折平面AMND，使平面AMND⊥平面MBCN，P为MD上一点，Q为BN上一点，且有MP=BQ．
（1）求证PQ∥平面DNC；
（2）求证PQ⊥MN．

Answer 1

分析：（1）根据线面平行的判定定理，在平面DNC中，找出和PQ平行的直线即可，也可以证明PQ所在的某个平面和平面DNC平行
（2）PQ与MN是异面直线，可通过线面垂直来证明

解答：证明：（1）作PR∥MN交DN于R，作QT∥MN交于T，连接RT．
∵∠MDN=∠BNC=45°，DM=NB，PM=QB，PR∥MN，QT∥MN，
∴PR∥QT，且Rt△DRP≌Rt△NTQ，得PR=QT．
∴四边形PQTR为平行四边形，
∴PQ∥RT，
∴PQ∥平面DNC．

（2）证明：如图，
∵RN⊥平面MBCN，NT⊥MN，
∴RT⊥MN，
又∵PQ∥RT，
∴PQ⊥MN．

点评：欲利用判定定理证明线面平行，就是根据题中的条件在这个平面内去找与已知直线平行的直线，从而完成过渡．