Question

过点（4，4）引圆（x-1）²+（y-3）²=4的切线，（1）求切线长；（2）求切线方程．

Answer 1

分析：（1）根据题意画出图形，根据PQ为圆M的切线，由切线性质得到MQ与PQ垂直，然后利用两点间的距离公式求出|MP|，由圆M的方程找出圆心M的坐标和半径r，在直角三角形MQP中，由勾股定理求出|PQ|的长，即为切线长；
（2）设出切线的方程为y-4=k（x-4），根据点到直线的距离公式，表示出圆心M到所设直线的距离d，因为直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，所以由d等于圆的半径r列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，进而确定出切线方程．

解答：解：根据题意画出图形，如图所示：

（1）连接MQ，由直线PQ为圆M的切线，得到MQ⊥PQ，即∠MQP=90°，
由圆的方程得到圆心M（1，3），半径r=2，即|MQ|=2，
连接MP，由P（4，4），得到|MP|=

(4-1)2+(4-3)2

=

10

，
在直角三角形MQP中，根据勾股定理得：切线长|PQ|=

( 10 )2-22

=

6

；
（2）设切线的斜率为k，则切线方程为：y-4=k（x-4），即kx-y+4-4k=0，
圆心M到切线的距离d=

|1-3k|

1+k2

=r=2，即5k²-6k-3=0，
解得：k=

3+ 2 6

5

或k=

3- 2 6

5

，
则切线方程为：（3+2

6

）x-5y+8-8

6

=0或（3-2

6

）x-5y+8+8

6

=0．

点评：此题考查了切线的性质，勾股定理以及直线与圆切线时满足的条件．（1）求切线长时，应连接圆心与切点，构造直角三角形；（2）直线与圆相切时，注意圆心到直线的距离等于圆的半径这个条件的运用．