Question

已知函数f（x）=

1

3x+ 3

．
（1）若a+b=1，求证：f（a）+f（b）为定值；
（2）设S=f（-5）+f（-4）+…+f（0）+…+f（5）+f（6），求S的值．

Answer 1

考点：函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）把b=1-a代入化简即可；
（2）由（1）知f（1-x）+f（x）=

3

3

，利用倒序相加法，即可求出结果．

解答： 解：（1）∵f（a）+f（b）=

1

3a+ 3

+

1

3b+ 3

=

1

3a+ 3

+

1

31-a+ 3

=

1

3a+ 3

+

3 3 •3a

3a+ 3

=

3

3

，
∴f（a）+f（b）为定值；
（2）∵f（x）=

1

3x+ 3

，
由（1）知f（1-x）+f（x）=

3

3

，
∴S=f（-5）+f（-4）+…+f（0）+…+f（5）+f（6）
=[f（-5）+f（6）]+[f（-4）+f（5）]+…+[f（0）+f（1）]
=6×

3

3

=2

3

．

点评：本题考查根据题设条件探究规律的能力与意识，此类题最明显的标志是数据较多，一一求值运算较繁，如果想到了探究其规律，则会使解题过程变得简单，请注意此类题的特征及做题方式．