Question

定义“矩阵”的一种运算

a b c d

•

x y

=

ax+by cx+dy

，该运算的意义为点（x，y）在矩阵的变换下成点

a b c d

．设矩阵A=

1 3

3 -1

（1）已知点P在矩阵A的变换后得到的点Q的坐标为(

3

，2)，试求点P的坐标；
（2）是否存在这样的直线：它上面的任一点经矩阵A变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这样的直线；若不存在，则说明理由．

Answer 1

分析：（1）设P（x，y），由题意，得出关于x，y的方程，解之即得P点的坐标；
（2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在这样的直线，设直线方程为：y=kx+b（k≠0），该直线上的任一点M（x，y），经变换后得到的点N（x+

3

y，

3

x-y）仍在该直线上，再结合求方程的解即可求得k，b值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：（1）设P（x，y）
由题意，有

x+ 3 y= 3 3 x-y=2

解得

x= 3 4 3 y= 1 4

，
即P点的坐标为(

3

4

3

，

1

4

)．
（2）假设存在这样的直线，因为平行坐标轴的直线显然不满足条件，
所以设直线方程为：y=kx+b（k≠0）
因为该直线上的任一点M（x，y），经变换后得到的点N（x+

3

y，

3

x-y）仍在该直线上
所以

3

x-y=k(x+

3

y)+b
即(

3

-k)x-(1+

3

k)y-b=0，其中y=kx+b（k≠0）
代入得(

3

k2+2k-

3

)x+(2+

3

k)b=0对任意的x∈R恒成立

3 k2+2k- 3 =0 (2+ 3 k)b=0

解之得

k= 3 3 ，- 3 b=0

故直线方程为y=

3

3

x或y=-

3

x．

点评：此题主要考查矩阵变换的问题，其中涉及到矩阵的求法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于中档题．