Question

12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f（x）=-x²+mx．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当m=2时，解不等式f（t²-1）+f（2t）＜0；
（3）当m=-4时，求函数f（x）在[-a，a]（a＞0）上的值域．

Answer 1

分析 （1）只需求x＞0时f（x）表达式即可，当x＞0时，-x＜0，可求f（-x），再由奇函数的性质可得f（x）=-f（-x）；
（2）当m=2时，函数f（x）在定义在R上为增函数，结合函数f（x）是定义在R上的奇函数，可将不等式f（t²-1）+f（2t）＜0化为t²-1＜-2t，解得答案；
（3）当m=-4时，画出函数f（x）的图象，数形结合并分类讨论，可得函数f（x）在[-a，a]（a＞0）上的值域．

解答 解：（1）当x＞0时，则-x＜0，
∵x≤0时，f（x）=-x²+mx．
∴f（-x）=-x²-mx，
又y=f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=x²+mx，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x}^{2}+mx，x≤0\\{x}^{2}+mx，x＞0\end{array}\right.$，
（2）当m=2时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x}^{2}+2x，x≤0\\{x}^{2}+2x，x＞0\end{array}\right.$，
f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}-2x+2，x≤0\\ 2x+2，x＞0\end{array}\right.$＞0恒成立，
故函数f（x）在定义在R上为增函数，
若f（t²-1）+f（2t）＜0，
则f（t²-1）＜-f（2t）=f（-2t），
即t²-1＜-2t，
解得t∈（-1-$\sqrt{2}$，-1+$\sqrt{2}$），
即不等式f（t²-1）+f（2t）＜0的解集为（-1-$\sqrt{2}$，-1+$\sqrt{2}$）；
（3）当m=-4时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x}^{2}-4x，x≤0\\{x}^{2}-4x，x＞0\end{array}\right.$的图象如下图所示：

若0＜a≤2，则函数f（x）在[-a，a]（a＞0）上的值域为[-a²+4a，a²-4a]，
若2＜a≤2+2$\sqrt{2}$，则函数f（x）在[-a，a]（a＞0）上的值域为[-4，4]，
若a＞2+2$\sqrt{2}$，则函数f（x）在[-a，a]（a＞0）上的值域为[-a²+4a，a²-4a]，

点评 本题考查的知识点是函数解析式的求法，函数的单调性，函数的周期性，数形结合思想，分类讨论思想，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．