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(本小题满分14分)

如图1所示,在边长为12的正方形中,点在线段上,且,作,分别交于点,作,分别交于点,将该正方形沿折叠,使得重合,构成如图2所示的三棱柱

(Ⅰ)求证:平面

(Ⅱ)求四棱锥的体积;

(Ⅲ)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

http://www.zxxk.com/gaokao/beijing/

(Ⅰ)见解析(Ⅱ)(Ⅲ)


解析:

(Ⅰ)证明:在正方形中,因为

所以三棱柱的底面三角形的边

因为

所以,所以.…………………………………2分

因为四边形为正方形,

所以,而

所以平面. …………………………………………………………5分

(Ⅱ)解:因为平面

所以为四棱锥的高.

因为四边形为直角梯形,且

所以梯形的面积为

所以四棱锥的体积. ……………………9分

(Ⅲ)解:由(Ⅰ)、(Ⅱ)可知,两两互相垂直.以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系

, 

所以

设平面的一个法向量为

    即

,则

所以.………………………………………………………………12分

显然平面的一个法向量为

设平面与平面所成锐二面角为

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.……………………14分

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3
sin2x+2sin(
π
4
+x)cos(
π
4
+x)

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π
2
]  时,求函数f(x)
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