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如图,抛物线M:y=x2+bx(b≠0)与x轴交于O,A两点,交直线l:y=x于O,B两点,经过三点O,A,B作圆C.
(I)求证:当b变化时,圆C的圆心在一条定直线上;
(II)求证:圆C经过除原点外的一个定点;
(III)是否存在这样的抛物线M,使它的顶点与C的距离不大于圆C的半径?

【答案】分析:(I)在方程y=x2+bx中.令y=0,y=x,易得A,B的坐标表示,设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey=0,利用条件得出,写出圆C的圆心坐标的关系式,从而说明当b变化时,圆C的圆心在定直线y=x+1上.
(II)设圆C过定点(m,n),则m2+n2+bm+(b-2)n=0,它对任意b≠0恒成立,从而求出m,n的值,从而得出当b变化时,(I)中的圆C经过除原点外的一个定点坐标;
(III)对于存在性问题,可先假设存在,即假设存在这样的抛物线M,使它的顶点与它对应的圆C的圆心之间的距离不大于圆C的半径,再利用不等关系,求出b,若出现矛盾,则说明假设不成立,即不存在;否则存在.
解答:解:(I)在方程y=x2+bx中.令y=0,y=x,易得A(-b,0),B(1-b,1-b)
设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey=0,

故经过三点O,A,B的圆C的方程为x2+y2+bx+(b-2)y=0,
设圆C的圆心坐标为(x,y),
则x=-,y=-,∴y=x+1,
这说明当b变化时,(I)中的圆C的圆心在定直线y=x+1上.
(II)设圆C过定点(m,n),则m2+n2+bm+(b-2)n=0,整理得(m+n)b+m2+n2-2n=0,
它对任意b≠0恒成立,∴
故当b变化时,(I)中的圆C经过除原点外的一个定点坐标为(-1,1).
(III)抛物线M的顶点坐标为(-,-),若存在这样的抛物线M,使它的顶点与它对应的圆C的圆心之间的距离不大于圆C的半径,
则|-|≤
整理得(b2-2b)2≤0,因b≠0,∴b=2,
以上过程均可逆,故存在抛物线M:y=x2+2x,使它的顶点与C的距离不大于圆C的半径.
点评:本题考查了二次函数解析式的确定,圆的一般方程,抛物线的简单性质等知识点.综合性较强,考查学生数形结合的数学思想方法.
练习册系列答案
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精英家教网如图,抛物线C1:x2=2py(p>0)的焦点为F,椭圆C2
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的离心率e=
3
2
,C1与C2在第一象限的交点为P(
3
1
2

(1)求抛物线C1及椭圆C2的方程;
(2)已知直线l:y=kx+t(k≠0,t>0)与椭圆C2交于不同两点A、B,点M满足
AM
+
BM
=
0
,直线FM的斜率为k1,试证明k•k1
-1
4

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