Question

12．已知圆O：x²+y²=4，直线l：mx-y+1=0与圆O交于点A，C，直线n：x+my-m=0与圆O交于点B，D，则四边形ABCD面积的最大值是7．

Answer 1

分析 先确定直线m，n恒过定点M（0，1），圆心O（0，0），半径R=2，AC²+BD²为定值，表示出面积，即可求四边形ABCD的面积的最大值和最小值．

解答 解：由题意可得，直线m，n恒过定点M（0，1），圆心O（0，0），半径R=2，
设弦AC，BD的中点分别为E，F，则OE²+OF²=OM²=1，
∴AC²+BD²=4（8-OE²-OF²）=28，
∴S²≤$\frac{1}{4}$AC²•BD²=$\frac{1}{4}$AC²•（28-AC²）≤$\frac{1}{4}•（\frac{A{C}^{2}+28-A{C}^{2}}{2}）^{2}$=49，
∴S≤7，当且仅当AC²=28-AC²，即AC=$\sqrt{14}$时，取等号，
故四边形ABCD面积S的最大值为7．
故答案为：7．

点评 本题主要考查直线过定点，考查面积的计算，基本不等式的应用，正确运用代入法是解题的关键，属于中档题．