Question

如图，己知平行四边形ABCD中，∠BAD=60°，AB=6，AD=3，G为CD中点，现将梯形ABCG沿着AG折起到AFEG．
（1）求证：直线CE∥平面ABF；
（2）如果FG⊥平面ABCD求二面B-EF-A的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）要证直线CE∥平面ABF，只要证明CE所在的平面CEG平行于平面ABF即可，由已知条件利用面面平行的判定进行证明；
（2）利用已知条件结合余弦定理证明AG⊥BG，再由FG⊥平面ABCD，可以GA、GB、GF为坐标轴建立如图空间直角坐标系，然后找到所用点的坐标，分别求出二面角的两个半平面的一个法向量，利用平面法向量求二面角的平面角的余弦值．

解答：（1）证明：如图，∵ABCD是平行四边形，
∴CG∥AB，∴CG∥平面ABF，GE∥AF，
∴GE∥平面ABF，∵GE∩GC=G，∴平面CEG∥平面ABF．
∴CE∥平面ABF；
（2）解：∵∠BAD=60°，AB=6，AD=3，G为CD中点，∴BG=GC=BC=3，
由余弦定理AG²=AD²+GD²-2AD•GD•COS120°=27，
∴AG²+BG²=AB²，∴AG⊥BG
又FG⊥平面ABCD，
∴以GA、GB、GF为坐标轴建立如图空间直角坐标系，则
A(3

3

，0，0)，B(0，3，0)，F(0，0，3)，C(-

3 3

2

，

3

2

，0)
∴平面AEF的法向量

n1

=

GB

=(0，3，0)，

BC

=(-

3 3

2

，-

3

2

，0)，

BF

=(0，-3，3)
设平面BFEC的法向量为

n2

=

n

=(x，y，z)，则

n • BC =0 n • BF =0

，∴

-3 3 x-3y=0 -3y+3z=0

令y=1，则x=-

3

3

，z=1，∴

n

=(-

3

3

，1，1)
∴cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=|

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

|=|

3

3× (- 3 3 )2+12+12

|=

21

7

即为所求．

点评：本题考查了直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求二面角的大小，解答的关键是建立正确的空间右手系，是中档题．