Question

4．已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上的任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k_PM，k_PN时，那么k_PM与k_PN之积是与P点无关的定值．现将椭圆改为双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0），且k_PM＜0、k_PN＜0，则k_PM+k_PN的最大值为（　　）

• A． $-\frac{2b}{a}$
• B． $-\frac{2a}{b}$
• C． $-\frac{{\sqrt{2}b}}{a}$
• D． $-\frac{{\sqrt{2}b}}{a}$

Answer 1

分析 设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（-m，-n），且$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}$=1，又设点P的坐标为（x，y），表示出直线PM和PN的斜率，求得两直线斜率乘积的表达式，把y和x的表达式代入发现结果与p无关，再利用基本不等式，即可得出结论．

解答 解：双曲线的类似的性质为：若M，N是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上的任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k_PM、k_PN时，k_PM与k_PN之积是与点P位置无关的定值．
下面给出证明：
设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（-m，-n），且$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}$=1．
又设点P的坐标为（x，y），由k_PM=$\frac{y-n}{x-m}$，k_PN=$\frac{y+n}{x+m}$得k_PM•k_PN=$\frac{{y}^{2}-{n}^{2}}{{x}^{2}-{m}^{2}}$，①
将y²=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$x²-b²，n²=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$m²-b²代入①式，得k_PM•k_PN=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$（定值）．
k_PM＜0、k_PN＜0，
∴k_PM+k_PN=-（-k_PM-k_PN）≤-$\frac{2b}{a}$，
∴k_PM+k_PN的最大值为-$\frac{2b}{a}$，
故选：A．

点评 本题主要考查了双曲线的性质，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，正确计算是关键．