【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若对任意,都有恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2) .
【解析】试题分析:(1)先求出函数的导数,对分类讨论,根据导数的正负即可得出函数的单调性;(2)法一:对任意,都有恒成立等价于在上恒成立, 即在上恒成立,令,利用导数研究函数的单调性,即可求得,从而可得实数的取值范围;法二:要使恒成立,只需,对进行和分类讨论,利用导数研究函数的单调性,求出,即可实数的取值范围.
试题解析:(1)由题知: ,
当时,
∴在上是增函数.
当时, ,
令,得 ;令,得 .
∴在上为增函数,在上为减函数.
(2)法一:由题知: 在上恒成立, 即在上恒成立.
令,所以
令得;令得.
∴在上单调递增,在上单调递减.
∴ ,
∴.
法二:要使恒成立,只需,
当时, 在上单调递增.
∴,即,这与矛盾,此时不成立.
当时,
(i)若即时, 在上单调递增,
∴,即,这与矛盾,此时不成立.
(ii)若即时, 在上单调递增,在上单调递减 .
∴即,解得.
又∵
∴ ,
(iii) 即时, 在 递减,则,
∴
又∵
∴;
综上所述可得: .
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【题目】为了让学生了解环保知识,增强环保意识,某中学举行了一次“环保知识竞赛”,共有900名学生参加了这次竞赛.为了解本次竞赛成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数,满分为100分)进行统计.请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频数分布直方图,解答下列问题:
(1)填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内);
(2)补全频数分布直方图;
(3)若成绩在75.5~85的学生为二等奖,问获得二等奖的学生约为多少人?
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【题目】已知圆,点为平面内一动点,以线段为直径的圆内切于圆,设动点的轨迹为曲线.
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ) 是曲线上的动点,且直线经过定点,问在轴上是否存在定点,使得,若存在,请求出定点,若不存在,请说明理由.
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【题目】从一批草莓中,随机抽取个,其重量(单位:克)的频率分布表如下:
分组(重量) | ||||
频数(个) |
已知从个草莓中随机抽取一个,抽到重量在的草莓的概率为.
(1)求出,的值;
(2)用分层抽样的方法从重量在和的草莓中共抽取个,再从这个草莓中任取个,求重量在和中各有个的概率.
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【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以原点为极点, 轴的正半轴为极轴,以相同的长度单位建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ)求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)已知,直线与曲线交于, 两点,若,求的值.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线的方程为,直线与曲线交于两点.
(1)求直线的标准参数方程;
(2)求的长;
(3)以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点的极坐标为;求点到线段中点的距离.
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【题目】过圆与轴正半轴的交点A作圆O的切线,M为上任意一点,过M作圆O的另一条切线,切点为Q.当点M在直线上运动时,△MAQ的垂心的轨迹方程为________.
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【题目】某村电费收取有以下两种方案供农户选择:方案一:每户每月收管理费2元,月用电不超过30度时,每度0.5元;超过30度时,超过部分按每度0.6元收取. 方案二:不收管理费,每度0.58元.
(1)求方案一收费元与用电量x (度)之间的函数关系;
(2)老王家九月份按方案一交费35元,问老王家该月用电多少度?
(3)老王家月用电最在什么范围时,选择方案一比选择方案二更好?
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【题目】已知椭圆: 的离心率为,直线交椭圆于、两点,椭圆的右顶点为,且满足.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与椭圆交于不同两点、,且定点满足,求实数的取值范围.
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