Question

已知圆的半径为1，圆心C在直线l₁：y=x上，其坐标为整数，圆C截直线l₂：x-3y+9=0所得的弦长为
（1）求圆C的标准方程；
（2）设动点P在直线l：x-y-2=0上，过点P作圆的两条切线PA，PB切点分别为A，B，求四边形PACB面积的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设圆心C的坐标为（2a，3a），a∈Z，利用圆C截直线l₂：x-3y+9=0所得的弦长为
，建立方程，可求a=1，从而可求圆C的标准方程；
（2）S_{四边形PACB}=2S_△PAC=|AC|•|PA|=|PA|=，求出|PC|的最小值，即可求得四边形PACB面积的最小值．
解答：解：（1）设圆心C的坐标为（2a，3a），a∈Z，则由题意，圆C截直线l₂：x-3y+9=0所得的弦长为
可知：，
解得a=1．
∴所求圆C的标准方程为：（x-2）²+（y-3）²=1．   （4分）
（2）∵CA⊥PA，CB⊥PB，|PA|=|PB|，|AC|=1，
∴S_{四边形PACB}=2S_△PAC=|AC|•|PA|=|PA|=．
当PC⊥l时，|PC|取得最小值，
∴|PC|_min=．
∴|PA|_min=．
即四边形PACB面积的最小值为． （12分）
点评：本题重点考查圆的标准方程，考查四边形的面积，解题的关键是利用圆的性质，属于基础题．