Question

17．若ax²+ax+a+3＞0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是[0，+∞）．

Answer 1

分析 由题意，检验a=0是否满足条件，当a≠0 时，需满足$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={a}^{2}-4a（a+3）＜0}\end{array}\right.$，从而解出实数a的取值范围．

解答 解：因为ax²+ax+a+3＞0对一切实数x恒成立，
所以当a=0时，不等式为3＞0，满足题意；
当a≠0，需满足$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={a}^{2}-4a（a+3）＜0}\end{array}\right.$，解得a＞0
总之a≥0
故答案为：[0，+∞）．

点评 本题考查一元二次不等式的应用，注意联系对应的二次函数的图象特征，体现了等价转化和分类讨论的数学思想．