Question

已知三棱锥S-ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直且长度分别为a、b、c，设O为S在底面ABC上的射影．
求证：（1）O为△ABC的垂心；
（2）O在△ABC内；
（3）设SO=h，则

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

=

1

h2

．

Answer 1

分析：（1）只需证明O在△ABC的三条高线上，即可证明O为△ABC的垂心；
（2）只需证明△ABC是锐角三角形，即可证明O在△ABC内；
（3）设SO=h，利用等面积法：SB•SC=BC•SD、SA•SD=AD•SO，推得关系化简为

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

=

1

h2

．

解答：证明：（1）∵SA⊥SB，SA⊥SC，
∴SA⊥平面SBC，BC?平面SBC．∴SA⊥BC．
而AD是SA在平面ABC上的射影，∴AD⊥BC．
同理可证AB⊥CF，AC⊥BE，故O为△ABC的垂心．
（2）证明△ABC为锐角三角形即可．不妨设a≥b≥c，
则底面三角形ABC中，AB=

a2+b2

为最大，从而∠ACB为最大角．
用余弦定理求得cos∠ACB=

2c2

2 b2+c2 a2+c2

＞0，
∴∠ACB为锐角，△ABC为锐角三角形．故O在△ABC内．
（3）SB•SC=BC•SD，
故SD=

bc

b2+c2

，

1

SD2

=

1

b2

+

1

c2

，又SA•SD=AD•SO，
∴

1

SO2

=

AD2

a2•SD2

=

a2+SD2

a2•SD2

=

1

a2

+

1

SD2

=

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

=

1

h2

．

点评：本题考查棱锥的结构特征，余弦定理，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．