【题目】已知函数f(x)=x3﹣2x2﹣4x.
(1)求函数y=f(x)的单调区间;
(2)求函数f(x)在区间[﹣1,4]上的最大值和最小值.
【答案】
(1)解:∵函数f(x)=x3﹣2x2﹣4x,
∴f′(x)=3x2﹣4x﹣4,
由f′(x)>0,得x<﹣ 或x>2,
由f′(x)<0,得﹣ <x<2,
∴函数y=f(x)的单调增区间是(﹣∞,﹣ ),[2,+∞);单调减区间是[﹣ ,2].
(2)解:由f′(x)=3x2﹣4x﹣4=0,
得 ,x2=2,
列表,得:
x | ﹣1 | (﹣1,﹣ ) | ﹣ | (﹣ ,2) | 2 | (2,4) | 4 |
f′(x) | + | 0 | ﹣ | 0 | + | ||
f(x) | 1 | ↑ | ↓ | ﹣8 | ↑ | 16 |
∴f(x)在[﹣1,4]上的最大值为f(x)max=f(4)=16,最小值为f(x)min=f(2)=﹣8.
【解析】(1)求出f′(x)=3x2﹣4x﹣4,利用导数性质能求出函数y=f(x)的单调增区间和单调减区间.(2)由f′(x)=3x2﹣4x﹣4=0,得 ,x2=2,列表讨论能求出f(x)在[﹣1,4]上的最大值和最小值.
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数是解答本题的根本,需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数在上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数在内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.
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【题目】如图所示,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,其它四个侧面都是侧棱长为 的等腰三角形.
(Ⅰ)求二面角P﹣AB﹣C的大小;
(Ⅱ)在线段AB上是否存在一点E,使平面PCE⊥平面PCD?若存在,请指出点E的位置并证明,若不存在请说明理由.
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【题目】设函数f(x)=(ex﹣1)(x﹣1)k , k∈N* , 若函数y=f(x)在x=1处取到极小值,则k的最小值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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【题目】已知椭圆的焦距为2,离心率为,轴上一点的坐标为.
(Ⅰ)求该椭圆的方程;
(Ⅱ)若对于直线,椭圆上总存在不同的两点与关于直线对称,且,求
实数的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=(x2﹣x﹣ )eax(a>0).
(1)求函数y=f(x)的最小值;
(2)若存在唯一实数x0 , 使得f(x0)+ =0成立,求实数a的值.
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【题目】已知函数f(x)= ax2﹣(a﹣1)x﹣lnx(a∈R且a≠0).
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)记函数y=F(x)的图象为曲线C.设点A(x1 , y1),B(x2 , y2)是曲线C上的不同两点.如果在曲线C上存在点M(x0 , y0),使得:①x0= ;②曲线C在点M处的切线平行于直线AB,则称函数F(x)存在“中值和谐切线”.当a=2时,函数f(x)是否存在“中值和谐切线”,请说明理由.
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