Question

已知函数f（x）=x²+（3m+1）x+3m（m＞0）的图象与x轴交于不同的两点A，B且|AB|=2．
（1）求实数m的值；
（2）设g（x）=f（x）-λx，x∈[0，+∞），若g（x）图象上的点都在直线y=1上方，求λ的取值范围．

Answer 1

解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁，x₂是f（x）=0的两个不同实根，所以△＞0，所以（3m+1）²-12m＞0，所以m≠
又x₁+x₂=-（3m+1），x₁x₂=3m
∴|AB|=|x₁-x₂|=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（3m+1）²-4×3m=4
∴3m²-2m-1=0
∴m=1或m=-
∵m＞0，
∴m=1；
（2）由（1）知m=1，则f（x）=x²+4x+3，∴g（x）=x²+4x+3-λx
∵x∈[0，+∞），g（x）图象上的点都在直线y=1上方，
∴x²+4x+3-λx＞1在[0，+∞）上恒成立
①当x=0时，λ∈R；
②当x∈（0，+∞）时，λ＜+4恒成立
∵x∈（0，+∞）时，≥
∴λ＜+4
综上知，λ的取值范围是（-∞，+4）．
分析：（1）利用韦达定理及弦长公式，根据|AB|=2，即可求实数m的值；
（2）将x∈[0，+∞），g（x）图象上的点都在直线y=1上方，转化为x²+4x+3-λx＞1在[0，+∞）上恒成立，分类讨论，利用分离参数法，即可确定λ的取值范围．
点评：本题考查韦达定理的运用，考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，考查基本不等式，综合性强．