Question

（08年新建二中六模） 如图，等腰直角△中，，平面，∥，.

（Ⅰ）求二面角的正弦值；

（Ⅱ）求点到平面的距离；

（Ⅲ）证明五点在同一个球面上，并求两点的球面距离.

 

 

Answer 1

解析：方法一

（Ⅰ）取的中点，连结，由知，又，故，所以即为二面角的平面角.

在△中，，，，

由余弦定理有

，

所以二面角的正弦值为

（Ⅱ）由（Ⅰ）知道平面，故平面平面，故在平面上的射影一定在直线上，所以点到平面的距离即为△的边上的高.

故.

（Ⅲ）易证△为直角三角形，且，取的中点，则由四边形是矩形知，故五点在以为球心，为直径的球面上，故两点之间的球面距离就是半个大圆的弧长，是

方法二

以点为坐标原点，以过垂直于的直线为轴，以所在直线为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示.

（Ⅰ）则，，

，，设

是平面的法向量，则有

，即，取，

 

得，易知平面的一个法向量为，，故所求角的正弦值为.

（Ⅱ），故点到平面的距离为.

（Ⅲ）易知的中点的坐标为，故，

而，故五点在以为球心，为直径的球面上，故两点之间的球面距离就是半个大圆的弧长，是