Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=1，AA₁=1=AB=2点E是AB上的动点，点M为D₁C的中点．
（1）当E点在何处时，直线ME∥平面ADD₁A₁，并证明你的结论；
（2）在（Ⅰ）成立的条件下，求二面角A-D₁E₁-C的大小．

Answer 1

解：（1）当E为AB的中点时，ME∥平面ADD₁A₁．
证明：取 DD₁ 的中点N，连接MN、AN、ME，
MN∥CD，AE∥CD，且MN=CD，AE=CD，
∴四边形MNAE为平行四边形，可知ME∥AN．
∵AN在平面AD₁ 内，∴ME∥平面AD₁，
（2）当E为AB的中点时，DE=，CE=，又CD=2，可知∠DEC=90°，
所以，DE⊥EC，平面 CED₁⊥平面DD₁E，所以，二面角 D-D₁E-C的大小为 ；
又二面角 A-D₁E-C的大小为二面角A-D₁E-D与二面角D-D₁E-C 大小的和，
只需求二面角A-D₁E-D的大小即可；过A点作AF⊥DE，交DE于F，则AF⊥平面DD₁E，AF=，
过F作 FH⊥D₁E于H，连接AH，则∠AHF即为二面角A-D₁E-D的平面角，∵AH•D₁E=AE•AD₁，∴AH=，
∴sin∠AHF=，∴∠AHF=．
所以二面角A-D₁E-C的大小为 +=．
分析：（1）当E为AB的中点时，取DD₁ 的中点N，证明四边形MNAE为平行四边形，即可证得ME∥平面AD₁．
（2）先求得二面角 D-D₁E-C的大小为 ；二面角 A-D₁E-C的大小为二面角A-D₁E-D与二面角D-D₁E-C 大小的和．求出二面角A-D₁E-D的平面角的大小，即可得到所求的二面角A-D₁E-C的大小．
点评：本题考查证明线面平行的方法，求二面角的大小，找到二面角的平面角是解题的关键和难点．