Question

9．已知方程x²+px+q=0与方程x²+（p-3）x+2q+1=0分别都有两个不等的实根，若他们的解集分别为A，B，且A∪B={1，2，5}，求p，q，A，B．

Answer 1

分析 两方程分别有两个不相等的实数根，而根的并集只有3个元素，则两方程有一公共根．分类讨论能求出p，q，A，B．

解答 解：两方程分别有两个不相等的实数根，而根的并集只有3个元素，则两方程有一公共根．
分类讨论：
（1）公共根为1时，x=1分别代入两方程：
$\left\{\begin{array}{l}{p+q+1=0}\\{p-3+2q+1+1=0}\end{array}\right.$，解得p=-3，q=2，
两方程变为：
x²-3x+2=0 解得x=1或x=2
x²-6x+5=0 解得x=1或x=5
满足题意．
（2）公共根为2时，x=2分别代入两方程：
$\left\{\begin{array}{l}{4+2p+q=0}\\{4+2p-6+2q+1=0}\end{array}\right.$，解得p=-$\frac{9}{2}$，q=5，
第一个方程变为：
2x²-9x+10=0 解得x=2或x=$\frac{5}{2}$，不满足题意，舍去．
（3）公共根为5时，x=5分别代入两方程：
$\left\{\begin{array}{l}{25+5p+q=0}\\{25+5p-15+2q+1=0}\end{array}\right.$，解得p=-$\frac{39}{5}$，q=14，
第一个方程变为：
5x²-39x+70=0 解得x=5或x=$\frac{14}{5}$，不满足题意，舍去．
综上，得
p=-3，q=2，A={1，2}，B={1，5}．

点评 本题考查集合中的参数及集合的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意并集性质和分类讨论思想的合理运用．