Question

已知函数f(x)=

1

3

ax3+

1

2

bx2+cx．（a≠0）
（1）若函数f（x）有三个零点x₁，x₂，x₃，且x1+x2+x3=

9

2

，x₁x₃=-12，求函数 y=f（x）的单调区间；
（2）若f′(1)=-

1

2

a，3a＞2c＞2b，试问：导函数f′（x）在区间（0，2）内是否有零点，并说明理由．
（3）在（Ⅱ）的条件下，若导函数f′（x）的两个零点之间的距离不小于

3

，求

b

a

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f(x)=x(

1

3

ax2+

1

2

bx+c)，及x1+x2+x3=

9

2

，x₁x₃=-12，可得x2=0，x1+x3=

9

2

，x1•x3=-12，从而x₁，x₃是方程

1

3

ax2+

1

2

bx+c=0的两根，
由韦达定理可用a把b，c表示出来，让后按a的符号分情况解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（2）由f′(1)=-

1

2

a可得a，b，c间的关系式，再由3a＞2c＞2b可判断a，b的符号，根据零点存在条件分情况讨论即可；
（3）设m，n是导函数f'（x）=ax²+bx+c的两个零点，则m+n=-

b

a

，mn=

c

a

=-

3

2

-

b

a

，|m-n|可用a，b表示出来，根据已知可得不等式得

b

a

的一范围，
又2c=-3a-2b，3a＞2c＞2b，所以3a＞-3a-2b＞2b，由此可得

b

a

的又一范围，两者取交集即可得到

b

a

的取值范围．

解答：解（1）因为f(x)=x(

1

3

ax2+

1

2

bx+c)，又x1+x2+x3=

9

2

，x₁x₃=-12，
所以x2=0，x1+x3=

9

2

，x1•x3=-12，
因为x₁，x₃是方程

1

3

ax2+

1

2

bx+c=0的两根，
所以-

3b

2a

=

9

2

，

3c

a

=-12，即b=-3a，c=-4a，
从而：f(x)=

1

3

ax3-

3

2

ax2-4ax，
所以f′（x）=ax²-3ax-4a=a（x-4）（x+1）．
令  f′（x）=0解得：x=-1，x=4，
当a＞0时，y=f（x）的单调递减区间是（-1，4），单调递增区间是（-∞，-1），（4，+∞）．
当a＜0时，y=f（x）的单调递增区间是（-1，4），单调递减区间是（-∞，-1），（4，+∞）．
（2）因为f'（x）=ax²+bx+c，f′(1)=-

1

2

a，
所以a+b+c=-

1

2

a，即3a+2b+2c=0．
因为3a＞2c＞2b，所以3a＞0，2b＜0，即a＞0，b＜0．
于是f′(1)=-

a

2

＜0，f'（0）=c，f'（2）=4a+2b+c=4a-（3a+2c）+c=a-c．
①当c＞0时，因为f′(0)=c＞0，f′(1)=-

a

2

＜0，
则f'（x）在区间（0，1）内至少有一个零点．
②当c≤0时，因为f′(1)=-

a

2

＜0，f′(2)=a-c＞0，
则f'（x）在区间（1，2）内至少有一零点．
故导函数f'（x）在区间（0，2）内至少有一个零点．
（3）设m，n是导函数f'（x）=ax²+bx+c的两个零点，则m+n=-

b

a

，mn=

c

a

=-

3

2

-

b

a

．
所以|m-n|=

(m+n)2-4mn

=

(- b a )2-4(- 3 2 - b a )

=

( b a +2)2+2

．
由已知，

( b a +2)2+2

≥

3

，则(

b

a

+2)2+2≥3，即(

b

a

+2)2≥1．
所以

b

a

+2≥1或

b

a

+2≤-1，即

b

a

≥-1或

b

a

≤-3．
又2c=-3a-2b，3a＞2c＞2b，所以3a＞-3a-2b＞2b，即-3a＜b＜-

3

4

a．
因为a＞0，所以-3＜

b

a

＜-

3

4

．
综上所述，

b

a

的取值范围是[-1，-

3

4

)．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及函数零点问题，考查学生分析问题解决问题的能力．