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如图,己知△BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB二60°,E、F分别是AC、AD上的动点,且=λ(0<λ<1)
(1)求证:不论λ为何值,总有EF⊥平面ABC:
(2)若λ=,求三棱锥A-BEF的体积.

【答案】分析:(1)要证不论λ为何值,总有EF⊥平面ABC,只需证CD⊥平面ABC,在△BCD中,根据∠BCD=90°得证.
(2)根据v三菱锥A-BEF=v三菱锥F-ABE,得出体积即可.
解答:(1)证明:因为AB⊥平面ABCD,所以AB⊥CD,
又在△BCD中,∠BCD=90°,所以,BC⊥CD,又AB∩BC=B,
所以,CD⊥平面ABC,
又在△ACD,E、F分别是AC、AD上的动点,且=λ(0<λ<1)
所以,不论λ为何值,总有EF⊥平面ABC:
(2)解:在△BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,所以,BD=
又AB⊥平面BCD,所以,AB⊥BC,AB⊥BD,
又在Rt△ABC中,∠ADB=60°∴AB=BDtan60°=
由(1)知EF⊥平面ABE,∴v三菱锥A-BEF=v三菱锥F-ABE
=
所以,三棱锥A-BCD的体积是:
点评:本题考查考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.属于中档题.
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精英家教网如图,己知△BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E、F分别是AC、AD上的动点,且
AE
AC
=
AF
AD
=λ(0<λ<1)
(1)求证:不论λ为何值,总有EF⊥平面ABC:
(2)若λ=
1
2
,求三棱锥A-BEF的体积.

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