Question

【题目】如图直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中AC=2AA1 ， AC⊥BC，D、E 分别为A1C1、AB 的中点．求证：

（1）AD⊥平面BCD
（2）A1E∥平面BCD．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中CC1⊥平面ABC，又BC平面ABC，

∴CC1⊥BC，

又∵AC⊥BC，AC∩CC1=C，AC，CC1平面AA1C1C，

∴BC⊥平面AA1C1C，

而AD平面AA1C1C∴BC⊥AD①

又该直三棱柱中AA1⊥A1C1，CC1⊥A1C1，

由已知AA1= AC=A1D，则∠A1DA= ，

同理∠C1DC= ，则∠ADC= ，即CD⊥AD，

由①BC⊥AD，BC∩CD=C，BC，CD平面BCD，

∴AD⊥平面BCD

（2）证明：取BC中点O，连结DO、OE，∵AE=EB，CO=BO∴OE平行等于 AC，

而A1D平行等于 AC，

∴A1D平行等于OE∴四边形A1DOE为平行四边形，

∴A1E∥OD，而A1E平面BCD，OD平面BCD，

∴A1E∥平面BCD．

【解析】（1）只需证明BC⊥AD，DC⊥AD，证明 即可AD⊥平面BCD（2）取BC中点O，连结DO、OE可得四边形A1DOE为平行四边形，即A1E∥OD，A1E∥平面BCD．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行，以及对直线与平面垂直的判定的理解，了解一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．