Question

已知f(x)=ax-

1

x

，g（x）=lnx，（x＞0，a∈R是常数）．
（1）求曲线y=g（x）在点P（1，g（1））处的切线l．
（2）是否存在常数a，使l也是曲线y=f（x）的一条切线．若存在，求a的值；若不存在，简要说明理由．
（3）设F（x）=f（x）-g（x），讨论函数F（x）的单调性．

Answer 1

（1）g（1）=0，所以P的坐标为（1，0），
g′(x)=

1

x

，则切线的斜率k=g′（1）=1，
所以直线l的方程为y-0=1（x-1），化简得y=x-1；
（2）由f(x)=ax-

1

x

，得f′（x）=a+

1

x2

，
设y=f（x）在x=x₀处的切线为l，
则有

ax0- 1 x0 =x0-1 a+ 1 x02 =1

，解得

x0=2 a= 3 4

，
即当a=

3

4

时，l是曲线y=f（x）在点Q（2，1）的切线；
（3）F′(x)=a+

1

x2

-

1

x

=a+(

1

x

-

1

2

)2-

1

4

．
当a≥

1

4

，a-

1

4

≥0时，F′（x）≥0，F（x）在（0，+∞）单调递增；
当a=0时，F′(x)=

1

x2

-

1

x

=

1-x

x2

，F（x）在（0，1]单调递增，在（1，+∞）单调递减；
当0＜a＜

1

4

时，解F′（x）=0得x1=

1- 1-4a

2a

，x2=

1+ 1-4a

2a

，
F（x）在（0，x₁]和（x₂，+∞）单调递增，在（x₁，x₂]单调递减；
当a＜0时，解F′（x）=0得x1=

1- 1-4a

2a

＞0，x2=

1+ 1-4a

2a

＜0（x₂舍去），
F（x）在（0，x₁]单调递增，在（x₁，+∞）单调递减．