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12.已知函数f(x)=Asin($\frac{π}{3}x$+φ),(A>0,0<φ<$\frac{π}{2}$),y=f(x)的部分图象如图所示,P,Q分别为该图象上相邻的最高点和最低点,点P在x轴上的射影为R(1,0),cos∠PRQ=-$\frac{4}{5}$.
(1)求A,φ的值;
(2)求函数f(x)的单调增区间及对称中心.

分析 (1)根据三角函数的图象和性质即可求A,φ的值;
(2)根据三角函数的单调性和对称性进行求解即可.

解答 解:(1)∵点P在x轴上的射影为R(1,0),
∴P(1,A)在函数f(x)的图象上,
则Asin($\frac{π}{3}$+φ)=A,即sin($\frac{π}{3}$+φ)=1,
∵0<φ<$\frac{π}{2}$,∴$\frac{π}{3}$<φ+$\frac{π}{3}$<$\frac{5π}{6}$,∴φ+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$,解得φ=$\frac{π}{6}$,
设Q(a,-A),则$\frac{π}{3}$a+$\frac{π}{6}$=$\frac{3π}{2}$,解得a=4,即Q(4,-A),
∵cos∠PRQ=-$\frac{4}{5}$.
∴sin∠xRQ=$\frac{4}{5}$.
tan∠xRQ=$\frac{4}{3}$.
即tan∠xRQ=$\frac{A}{4-1}$=$\frac{4}{3}$.
解得A=4;
即A=4,φ=$\frac{π}{6}$.
(2)∵A=4,φ=$\frac{π}{6}$.
∴f(x)=4sin($\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{6}$),
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$,k∈Z,
得6k-2≤x≤6k+1,k∈Z,
即函数的递增区间为[6k-2,6k+1],k∈Z,
由$\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{6}$=kπ,解得x=3k-$\frac{1}{2}$,
即函数的对称中心为(3k-$\frac{1}{2}$,0),k∈Z.

点评 本题主要考查三角函数的解析式以及三角函数单调性,对称性的求解,要求熟练掌握三角函数的图象和性质.

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