Question

12．已知函数f（x）=Asin（$\frac{π}{3}x$+φ），（A＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$），y=f（x）的部分图象如图所示，P，Q分别为该图象上相邻的最高点和最低点，点P在x轴上的射影为R（1，0），cos∠PRQ=-$\frac{4}{5}$．
（1）求A，φ的值；
（2）求函数f（x）的单调增区间及对称中心．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数的图象和性质即可求A，φ的值；
（2）根据三角函数的单调性和对称性进行求解即可．

解答 解：（1）∵点P在x轴上的射影为R（1，0），
∴P（1，A）在函数f（x）的图象上，
则Asin（$\frac{π}{3}$+φ）=A，即sin（$\frac{π}{3}$+φ）=1，
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{3}$＜φ+$\frac{π}{3}$＜$\frac{5π}{6}$，∴φ+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，解得φ=$\frac{π}{6}$，
设Q（a，-A），则$\frac{π}{3}$a+$\frac{π}{6}$=$\frac{3π}{2}$，解得a=4，即Q（4，-A），
∵cos∠PRQ=-$\frac{4}{5}$．
∴sin∠xRQ=$\frac{4}{5}$．
tan∠xRQ=$\frac{4}{3}$．
即tan∠xRQ=$\frac{A}{4-1}$=$\frac{4}{3}$．
解得A=4；
即A=4，φ=$\frac{π}{6}$．
（2）∵A=4，φ=$\frac{π}{6}$．
∴f（x）=4sin（$\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{6}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得6k-2≤x≤6k+1，k∈Z，
即函数的递增区间为[6k-2，6k+1]，k∈Z，
由$\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{6}$=kπ，解得x=3k-$\frac{1}{2}$，
即函数的对称中心为（3k-$\frac{1}{2}$，0），k∈Z．

点评 本题主要考查三角函数的解析式以及三角函数单调性，对称性的求解，要求熟练掌握三角函数的图象和性质．