Question

已知动点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离大1个单位长度．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）过点F任意作互相垂直的两条直线l₁，l₂，分别交曲线C于点A、B和M、N，设线段AB、MN的中点分别为P、Q，求证：直线PQ恒过一个定点．

Answer 1

【答案】分析：（1）设动点M的坐标为（x，y），根据动点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离大1个单位长度，建立方程，化简可得点M的轨迹C的方程；
（2）设A，B两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则点P的坐标为（， ），可设直线l₁的方程为y=k（x-1）（k≠0），与抛物线方程联立，利用韦达定理可求点P的坐标为（1+，），同理可得点的坐标为（1+2k²，-2k），进而可确定直线PQ的方程，即可得到结论．
解答：（1）解：设动点M的坐标为（x，y），
由题意，∵动点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离大1个单位长度
∴
化简得y²=4x，
所以点M的轨迹C的方程为y²=4x．
（2）证明：设A，B两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则点P的坐标为（， ）．
由题意可设直线l₁的方程为y=k（x-1）（k≠0），
由得k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
△=（2k²+4）²-4k⁴=16k²+16＞0，x₁+x₂=2+，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=．
所以点P的坐标为（1+，）．
由题知，直线l₂的斜率为-，同理可得点的坐标为（1+2k²，-2k）．
当k≠±1时，有1+≠1+2k²，此时直线PQ的斜率k_PQ=．
所以，直线PQ的方程为y+2k= （x-1-2k²），
整理得yk²+（x-3）k-y=0，于是，直线PQ恒过定点E（3，0）；
当k=±1时，直线PQ的方程为x=3，也过点E（3，0）．
综上所述，直线PQ恒过定点E（3，0）．
点评：本题考查圆锥曲线和直线的位置关系和综合应用，具有一定的难度，解题的关键是直线与抛物线的联立，确定直线PQ的方程．