P(x0,y0)(x0≠±a)是双曲线E:
-
=1(a>0,b>0)上一点,M,N分别是双曲线E的左,右顶点,直线PM,PN的斜率之积为
.
(1)求双曲线的离心率.
(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,C为双曲线上一点,满足
=λ
+
,求λ的值.
(1) 
(2) λ=0或λ=-4
【解析】【思路点拨】(1)代入P点坐标,利用斜率之积为
列方程求解.
(2)联立方程,设出A,B,
的坐标,代入=λ
+
求解.
【解析】
(1)由点P(x0,y0)(x0≠±a)在双曲线
-
=1上,有
-
=1.
由题意又有
·
=,
可得a2=5b2,c2=a2+b2=6b2,则e=
=.
(2)联立方程得
得4x2-10cx+35b2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则
设=(x3,y3),=λ+,
即
又C为双曲线E上一点,即
-5
=5b2,
有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2,
化简得:λ2(
-5
)+(
-5
)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b2,
又A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线E上,
所以-5=5b2,-5=5b2.
又x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)
=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2,
得:λ2+4λ=0,解出λ=0或λ=-4.
名校课堂系列答案科目：高中数学 来源：2014年高考数学全程总复习课时提升作业五十四第八章第五节练习卷（解析版） 题型：选择题
已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为
,且它的长轴长等于圆C:x2+y2-2x-15=0的半径,则椭圆的标准方程是( )
(A)
+
=1 (B)
+
=1
(C)+y2=1 (D)+
=1
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科目：高中数学 来源：2014年高考数学全程总复习课时提升作业五十八第八章第九节练习卷（解析版） 题型：解答题
已知椭圆C:
+
=1(a>b>0)的一个顶点A(2,0),离心率为
,直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.
(1)求椭圆C的方程.
(2)当△AMN的面积为
时,求k的值.
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科目：高中数学 来源：2014年高考数学全程总复习课时提升作业五十八第八章第九节练习卷（解析版） 题型：选择题
已知任意k∈R,直线y-kx-1=0与椭圆
+
=1恒有公共点,则实数m的取值范围是( )
(A)(0,1) (B)(0,5)
(C)[1,5)∪(5,+∞) (D)[1,5)
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科目：高中数学 来源：2014年高考数学全程总复习课时提升作业五十五第八章第六节练习卷（解析版） 题型：选择题
已知点F1,F2分别是双曲线
-
=1的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABF2为锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是( )
(A)(1,1+
) (B)(1,
)
(C)(+1,+∞) (D)(-∞,1+)
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科目：高中数学 来源：2014年高考数学全程总复习课时提升作业五十五第八章第六节练习卷（解析版） 题型：选择题
若双曲线
-
=1的左焦点与抛物线y2=-8x的焦点重合,则m的值为( )
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
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科目：高中数学 来源：2014年高考数学全程总复习课时提升作业五十九第八章第十节练习卷（解析版） 题型：解答题
直线l与椭圆
+
=1(a>b>0)交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,已知m=(ax1,by1),n=(ax2,by2),若m⊥n且椭圆的离心离e=
,又椭圆经过点(,1),O为坐标原点.
(1)求椭圆的方程.
(2)试问:△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.
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科目：高中数学 来源：2014年高考数学全程总复习课时提升作业五十七第八章第八节练习卷（解析版） 题型：选择题
如果双曲线的两个焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0),一条渐近线方程为y=
x,那么它的两条准线间的距离是( )
(A)6
(B)4 (C)2 (D)1
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