【题目】如图,在长方体中,
,
,点
、
分别为
、
的中点.
(1)证明:平面
;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)见证明;(2)
【解析】
(1)以点A为坐标原点,分别以AB,AD,AA1为x,y,z轴建立空间直角坐标系,利用向量法能证明AC1⊥平面BDE.
(2)求出平面BDE的法向量和平面FBE的法向量,二面角F﹣BE﹣D为锐二面角,利用向量法能求出二面角的余弦值.
(1)如图,以点A为坐标原点,分别以AB,AD,A为x,y,z轴建立空间直角坐标系
则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),E(0,0,),
(1,1,
),
,
,
,
,
与BE是平面BDE内两条相交直线
平面BDE
(2)由(1)进一步可得F(0,),
设平面BDE的法向量为,可取
,
设平面FBE的法向量为,
由,可得
,取x=1,可得
(1,-2,
)
.
由于二面角F-BE-D为锐二面角,故所求的二面角的余弦值为
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【题目】对称轴为坐标轴的椭圆的焦点为
,
,
在
上.
(1)求椭圆的方程;
(2)设不过原点的直线
与椭圆
交于
,
两点,且直线
,
,
的斜率依次成等比数列,则当
的面积为
时,求直线
的方程.
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【题目】中欧班列是推进与“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措,作为中欧铁路在东北地区的始发站,沈阳某火车站正在不断建设.目前车站准备在某仓库外,利用其一侧原有墙体,建造一间墙高为3米,底面为12平方米,且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙,无需建造费用,因此甲工程队给出的报价为:屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左右两面新建墙体报价为每平方米150元,屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为米
.
(1)当左右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低?
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标,其给出的整体报价为元
,若无论左右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求
的取值范围.
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【题目】已知二次函数满足以下两个条件:①不等式
的解集是
②函数
在
上的最小值是3.
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)若点在函数
的图象上,且
.
(ⅰ)求证:数列为等比数列
(ⅱ)令,是否存在正实数
,使不等式
对于一切的
恒成立?若存在,指出
的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】某企业有甲、乙两条生产线生产同种产品,现随机从这两条生产线上各抽取20件产品检测质量(单位:克),质量值落在,
的产品为三等品,质量值落在
,
的产品为二等品,质量值落在
的产品为一等品.下表为从两条生产线上各抽取的20件产品的质量检测情况,将频率视为概率,从甲生产线上随机抽取1件产品,为二等品的概率为0.2.
(1)求的值;
(2)现从两条生产线上的三等品中各抽取1件,求这两件产品的质量均在的概率;
(3)估算甲生产线20个数据的中位数(保留3位有效数字).
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