Question

6．一个正方体削去一个角所几何体的三视图如图所示（图中三个四边形都是边长为2的正方形），若削去的几何体中原正方体的顶点到截面的距离为h，削去的几何体中内切球的半径为R，则$\frac{h}{R}$的值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 1+$\sqrt{3}$
• D． $\frac{1+\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 根据题意和三视图画出直观图，由正方体的性质求出截去三棱锥的棱长，由三棱锥P-ABC的体积相等和题意列出方程，化简后即可得到答案．

解答 解：根据题意和三视图画出直观图，其中三棱锥P-ABC是截去的一角，
∵三视图中的三个四边形都是边长为2的正方形，
∴正方体的棱长等于2，则AB=AC=BC=$2\sqrt{2}$，
则△ABC的面积是$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
由三棱锥P-ABC的体积相等和题意得，$\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×h=\frac{1}{3}×（3×\frac{1}{2}×2×2+2\sqrt{3}）×R$，
化简得，$\frac{h}{R}$=$\frac{6+2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}+1$，
故选：C．

点评 本题考查几何体三视图的应用，利用等体积法求正三棱锥的高、内切球半径问题，考查空间想象能力．