Question

（理）正数列的前项和满足：，常数
（1）求证：是一个定值；
（2）若数列是一个周期数列，求该数列的周期；
（3）若数列是一个有理数等差数列，求．

Answer 1

（理）证明：（1）               （1） 
     （2）
：     （3）
           （4）
……………4分
（2）计算                              ……………6分
根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：，，，，，。。。。
当时，奇数项和偶数项都是单调递增的，所以不可能是周期数列         ……………8分
所以时，数列写出数列的前几项：，，，，，。。。。
所以当且时，该数列的周期是2，                              ……………9分
当时，该数列的周期是1，                                         ……………10分
（3）因为数列是一个有理等差数列，所以
化简，
是有理数                         ……………12分
设,是一个完全平方数，设为，均是非负整数
时，                                                 ……………14分
时=可以分解成8组，其中
只有符合要求，                                                        ……………16分
此时                                          ……………18分
或者，                                                         ……………12分
等差数列的前几项：，，，。。。。
                                                              ……………14分
因为数列是一个有理等差数列
是一个自然数，                                                    ……………16分
此时                                    ……………18分
如果没有理由，猜想：，解答   得2分
                      得2分
 

略