【题目】已知函数.
(1)求在区间上的最大值;
(2)若过点存在3条直线与曲线相切,求的取值范围;
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)求,令,求出极值点,极值和区间端点的函数值,即求最大值;
(2)设出切点,写出切线方程,把点的坐标代入切线方程,得.设,则“过点存在3条直线与曲线相切”等价于“有3个不同的零点”.求,判断的单调性,即可求解.
(1)由得.
令,得或.
因为,
所以在区间上的最大值为.
(2)设过点的直线与曲线相切于点,
则,且切线斜率为,
所以切线方程为,
因此,
整理得.
设,
则“过点存在3条直线与曲线相切”等价于“有3个不同的零点”.
.
当变化时,与的变化情况如下:
0 | 1 | ||||
+ | 0 | - | 0 | + | |
所以,是的极大值,
是的极小值.
当,即时,
在区间和上分别至多有1个零点,
以至多有2个零点.
当,即时,
在区间和上分别至多有1个零点,
所以至多有2个零点.
当且,即时,
因为,
所以分别在区间和上恰有1个零点.
由于在区间和上单调,
所以分别在区间和上恰有1个零点.
综上可知,当过点存在3条直线与曲线相切时,的取值范围是.
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【题目】已知函数.
(1)当时,证明函数是增函数;
(2)是否存在实数,使得只有唯一的正数,当时恒有:,若这样的实数存在,试求、的值,若不存在,请说明理由.
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【题目】某仪器经过检验合格才能出厂,初检合格率为:若初检不合格,则需要进行调试,经调试后再次对其进行检验;若仍不合格,作为废品处理,再检合格率为.每台仪器各项费用如表:
项目 | 生产成本 | 检验费/次 | 调试费 | 出厂价 |
金额(元) | 1000 | 100 | 200 | 3000 |
(Ⅰ)求每台仪器能出厂的概率;
(Ⅱ)求生产一台仪器所获得的利润为1600元的概率(注:利润出厂价生产成本检验费调试费);
(Ⅲ)假设每台仪器是否合格相互独立,记为生产两台仪器所获得的利润,求的分布列和数学期望.
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【题目】已知直线:(为参数),曲线:(为参数).
(1)设与相交于两点,求;
(2)若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线,设点P是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最大值.
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【题目】已知椭圆的离心率为,且过点.
(1)求的方程;
(2)是否存在直线与相交于两点,且满足:①与(为坐标原点)的斜率之和为2;②直线与圆相切,若存在,求出的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法,甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”,子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。“天干”以“甲”字开始,“地支”以“子”字开始,两者按干支顺序相配,组成了干支纪年法,其相配顺序为:甲子、乙丑、丙寅…癸酉,甲戌、乙亥、丙子…癸末,甲申、乙酉、丙戌…癸巳,…,共得到个组成,周而复始,循环记录。2014年是“干支纪年法”中的甲午年,那么2020年是“干支纪年法”中的()
A. 己亥年 B. 戊戌年 C. 庚子年 D. 辛丑年
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