对于函数y=f（x），如果存在区间[m，n]，同时满足下列条件：
①f（x）在[m，n]内是单调的；
②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．
则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．若函数f（x）= $数学公式$ 存在“和谐区间”，则a的取值范围是

A.
（0，1）
B.
（0，2）
C.
（ $数学公式$ ）
D.
（1，3）

A
分析：易得函数在区间[m，n]是单调的，由f（m）=m，f（n）=n可得故m、n是方程ax²-（a+1）x+a=0的两个同号的实数根，由△=（a+1）²-4a²＞0，解不等式即可．
解答：由题意可得函数f（x）= $\text{[math]}$ 在区间[m，n]是单调的，
所以[m，n]⊆（-∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），则f（m）=m，f（n）=n，
故m、n是方程 $\text{[math]}$ 的两个同号的实数根，
即方程ax²-（a+1）x+a=0有两个同号的实数根，注意到mn= $\text{[math]}$ =1＞0，
故只需△=（a+1）²-4a²＞0，解得 $\text{[math]}$ ＜a＜1，
结合a＞0，可得0＜a＜1
故选A
点评：本题考查函数单调性的判断和一元二次方程的根的分布，属基础题．

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已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f(x+

)为偶函数，对于函数y=f（x）有下列几种描述：
①y=f（x）是周期函数②x=π是它的一条对称轴；③（-π，0）是它图象的一个对称中心；
④当x=

时，它一定取最大值；其中描述正确的是

．

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给出下列五个命题：
①函数y=f（x），x∈R的图象与直线x=a可能有两个不同的交点；
②函数y=log₂x²与函数y=2log₂x是相等函数；
③对于指数函数y=2^x与幂函数y=x²，总存在x₀，当x＞x₀ 时，有2^x＞x²成立；
④对于函数y=f（x），x∈[a，b]，若有f（a）•f（b）＜0，则f（x）在（a，b）内有零点．
⑤已知x₁是方程x+lgx=5的根，x₂是方程x+10^x=5的根，则x₁+x₂=5．
其中正确的序号是

③⑤

．

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（2010•和平区一模）函数y=f（x）是定义在[a，b]上的增函数，其中a，b∈R，且0＜b＜-a，已知y=f（x）无零点，设F（x）=f²（x）+f²（-x），则对于函数y=F（x）有如下四种说法：①定义域是[-b，b]；②最小值是0；③是偶函数；④在定义域内单调递增．其中正确的说法是（　　）

A．①②③

B．②④

C．①③

D．①④

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（2010•上海模拟）对于函数y=f（x）的图象上任意两点A（a，f（a）），B（b，f（b）），设点C分

的比为λ（λ＞0）．若函数为f（x）=x²（x＞0），则直线AB必在曲线AB的上方，且由图象特征可得不等式

a2+λb2

1+λ

＞(

a+λb

1+λ

)2．若函数为f（x）=log₂₀₁₀x，请分析该函数的图象特征，上述不等式可以得到不等式

log2010a+log2010b

1+λ

＜log2010

a+λb

1+λ

log2010a+log2010b

1+λ

＜log2010

a+λb

1+λ

．

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已知定义在区间[-3，3]上的函数y=f（x）满足f（-x）+f（x）=0，对于函数y=f（x）的图象上任意两点（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂））都有（x₁-x₂）•[f（x₁）-f（x₂）]＜0．若实数a，b满足f（a²-2a）+f（2b-b²）≤0，则点（a，b）所在区域的面积为（　　）

A、8

B、4

C、2

D、1

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对于函数y=f（x），如果存在区间[m，n]，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]内是单调的；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．若函数f（x）=存在“和谐区间”，则a的取值范围是