Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=AC=4，AB=BC=2

2

（1）求证：平面ABC⊥平面APC
（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
（3）若动点M在底面三角形ABC上，二面角M-PA-C的余弦值为

2 2

3

，求BM的最小值．

Answer 1

分析：（1）证明平面ABC⊥平面APC，利用线面垂直证明，即证OP⊥平面ABC；
（2）以O为坐标原点，OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用坐标表示点与向量，求出平面PBC的法向量

n1

=(

3

，

3

，1)，利用向量的夹角公式，即可得到直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
（3）平面PAC的法向量

n2

=

OB

=(2，0，0)，求出平面PAM的法向量，利用二面角M-PA-C的余弦值为

2 2

3

，可得n+2=

32 3

m，从而可求B点到AM的最小值．

解答：（1）证明：取AC中点O，因为AP=BP，所以OP⊥OC  
由已知，可得△ABC为直角三角形，∴OA=OB=OC，△POA≌△POB≌△POC，∴OP⊥OB
∵OB∩OC=O
∴OP⊥平面ABC，
∵OP?平面PAC，∴平面ABC⊥平面APC（4分）
（2）解：以O为坐标原点，OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系．
由已知得O（0，0，0），B（2，0，0），A（0，-2，0），
C（0，2，0），P（0，0，2

3

），（5分）
∴

AP

=(0，2，2

3

)，

AM

=(m，n+1，0)
设平面PBC的法向量

-2x+2y=0 2x-2 3 z=0

，
由

-2x+2y=0 2x-2 3 z=0

得方程组

-2x+2y=0 2x-2 3 z=0

，取

n1

=(

3

，

3

，1)（6分）
∴cos＜

AP

，

n1

＞=

21

7

∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为

21

7

．                             （8分）
（3）解：由题意平面PAC的法向量

n2

=

OB

=(2，0，0)，
设平面PAM的法向量为

n3

=(x，y，z)，M=（m，n，0）
∵

AP

=（0，2，2

3

），

AM

=（m，n+2，0），

AP

•

n3

=0，

AM

•

n3

=0
∴

2y+2 3 z=0 mx+(n+2)y=0

取y=-1，可得

n3

=(

n+2

m

，-1，

3

3

)
∴cos＜

n2

，

n3

＞=

2(n+2) m

2 ( n+2 m )2+1+ 1 3

=

2 2

3

∴n+2=

32 3

m（11分）
∴BM的最小值为垂直距离d=

8 70 -2 105

35

．     （12分）

点评：本题考查面面垂直，考查线面角，考查平面法向量的求解，解题的关键是掌握面面垂直的判定，正确求出平面的法向量．