Question

（2012•广东）设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足2Sn=an+1-2n+1+1，n∈N*，且a₁，a₂+5，a₃成等差数列．
（1）求a₁的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n，有

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

＜

3

2

．

Answer 1

分析：（1）在2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1中，令分别令n=1，2，可求得a₂=2a₁+3，a₃=6a₁+13，又a₁，a₂+5，a₃成等差数列，从而可求得a₁；
（2）由2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1，2Sn+1=an+2-2n+2+1得a_n+2=3a_n+1+2ⁿ⁺¹①，a_n+1=3a_n+2ⁿ②，由①②可知{a_n+2ⁿ}为首项是3，3为公比的等比数列，从而可求a_n；
（3）（法一），由a_n=3ⁿ-2ⁿ=（3-2）（3^n-1+3^n-2×2+3^n-3×2²+…+2^n-1）≥3^n-1可得

1

an

≤

1

3n-1

，累加后利用等比数列的求和公式可证得结论；
（法二）由a_n+1=3ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹＞2×3ⁿ-2ⁿ⁺¹=2a_n可得，

1

an+1

＜

1

2

•

1

an

，于是当n≥2时，

1

a3

＜

1

2

•

1

a2

，

1

a4

＜

1

2

•

1

a3

，

1

a5

＜

1

2

•

1

a4

，…，

1

an

＜

1

2

•

1

an-1

，累乘得：

1

an

＜(

1

2

)n-2•

1

a2

，从而可证得

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

＜

3

2

．

解答：解：（1）在2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1中，
令n=1得：2S₁=a₂-2²+1，
令n=2得：2S₂=a₃-2³+1，
解得：a₂=2a₁+3，a₃=6a₁+13
又2（a₂+5）=a₁+a₃
解得a₁=1
（2）由2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1，
2Sn+1=an+2-2n+2+1得a_n+2=3a_n+1+2ⁿ⁺¹，
又a₁=1，a₂=5也满足a₂=3a₁+2¹，
所以a_n+1=3a_n+2ⁿ对n∈N*成立
∴a_n+1+2ⁿ⁺¹=3（a_n+2ⁿ），又a₁=1，a₁+2¹=3，
∴a_n+2ⁿ=3ⁿ，
∴a_n=3ⁿ-2ⁿ；
（3）（法一）
∵a_n=3ⁿ-2ⁿ=（3-2）（3^n-1+3^n-2×2+3^n-3×2²+…+2^n-1）≥3^n-1
∴

1

an

≤

1

3n-1

，
∴

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

≤1+

1

3

+

1

32

+…+

1

3n-1

=

1×(1-( 1 3 )n)

1- 1 3

＜

3

2

；
（法二）∵a_n+1=3ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹＞2×3ⁿ-2ⁿ⁺¹=2a_n，
∴

1

an+1

＜

1

2

•

1

an

，，
当n≥2时，

1

a3

＜

1

2

•

1

a2

，

1

a4

＜

1

2

•

1

a3

，

1

a5

＜

1

2

•

1

a4

，
…

1

an

＜

1

2

•

1

an-1

，
累乘得：

1

an

＜(

1

2

)n-2•

1

a2

，
∴

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

≤1+

1

5

+

1

2

×

1

5

+…+(

1

2

)n-2×

1

5

＜

7

5

＜

3

2

．

点评：本题考查数列与不等式的综合，考查数列递推式，着重考查等比数列的求和，着重考查放缩法的应用，综合性强，运算量大，属于难题．