Question

已知向量a=(sinωx，cosωx)，b=(cosωx，

3

cosωx)（ω＞0），函数f(x)=

a

•

b

-

3

2

的最小正周期为π．
（I）求函数f（x）的单调增区间；
（II）如果△ABC的三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，且满足b2+c2=a2+

3

bc，求f（A）的值．

Answer 1

分析：（I）利用向量的数量积公式、二倍角公式及辅助角公式化简函数．利用f（x）的最小正周期为π，可求ω的值，从而可得函数的解析式，利用三角函数的单调性，即可得到函数f（x）的增区间；
（II）由b2+c2=a2+

3

bc，及cosA=

b2+c2-a2

2bc

，可求得A=

π

6

，进而可求f（A）的值．

解答：解：（I）f(x)=

a

•

b

-

3

2

=sinωxcosωx+

3

cos2ωx-

3

2

=

1

2

sin2ωx+

3

2

cos2ωx
=sin(2ωx+

π

3

)…（3分）
∵f（x）的最小正周期为π，且ω＞0．
∴

2π

2ω

=π，解得ω=1，…（4分）
∴f(x)=sin(2x+

π

3

)．
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z…（5分）
得f（x）的增区间为[-

5

12

π+kπ，

π

12

+kπ](k∈Z)…（6分）
（II）由b2+c2=a2+

3

bc，∴b2+c2-a2=

3

bc，
又由cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

3 bc

2bc

=

3

2

…（8分）
∴在△ABC中，A=

π

6

…（9分）
∴f(A)=sin(2×

π

6

+

π

3

)=sin

2π

3

=

3

2

…（12分）

点评：本题考查三角函数式的化简，考查数量积公式的运用，考查余弦定理的运用，解题的关键是三角函数式的化简．