Question

已知椭圆C的焦点在x轴上，一个顶点的坐标是（0，1），离心率等于

2 5

5

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，若

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，求证：λ₁+λ₂为定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知b=1，

a2-b2 a2

=

2 5

5

，由此能够导出椭圆C的方程．
（Ⅱ）方法一：设A，B，M点的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

MA

=λ1

AF

，得λ₁²+10λ₁+5-5y₀²=0．由

MB

=λ2

BF

得λ₂²+10λ₂+5-5y₀²=0．λ₁，λ₂是方程x²+10x+5-5y₀²=0的两个根，∴λ₁+λ₂=-10．
方法二：设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（x-2）．将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得（1+5k²）x²-20k²x+20k²-5=0．然后利用根与系数的关系证明λ₁+λ₂为定值．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
则由题意知b=1．∴

a2-b2 a2

=

2 5

5

．
即

1- 1 a2

=

2 5

5

．∴a²=5．
∴椭圆C的方程为

x2

5

+y2=1；
（Ⅱ）方法一：设A，B，M点的坐标分别为
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（0，y₀），
又易知F点的坐标为（2，0）．
∵

MA

=λ1

AF

，∴（x₁，y₁-y₀）=λ₁（2-x₁，-y₁）．
∴x1=

2λ1

1+λ1

，y1=

y0

1+λ1

．
将A点坐标代入到椭圆方程中得：

1

5

(

2λ1

1+λ1

)2+(

y0

1+λ1

)2=1，
去分母整理，得λ₁²+10λ₁+5-5y₀²=0．
同理，由

MB

=λ2

BF

可得：λ₂²+10λ₂+5-5y₀²=0．
∴λ₁，λ₂是方程x²+10x+5-5y₀²=0的两个根，
∴λ₁+λ₂=-10．
方法二：设A，B，M点的坐标分别为A
（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（0，y₀），
又易知F点的坐标为（2，0）．
显然直线l存在斜率，设直线l的斜率为k，
则直线l的方程是y=k（x-2）．
将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，
消去y并整理得（1+5k²）x²-20k²x+20k²-5=0．
∴x1+x2=

20k2

1+5k2

，x1x2=

20k2-5

1+5k2

．
又∵

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，
将各点坐标代入得λ1=

x1

2-x1

，λ2=

x2

2-x2

．
λ1+λ2=

x1

2-x 1

+

x2

2-x2

=

2(x1+x2)-2x1x2

4-2(x1+x2)+x1x2

═-10．

点评：本题是椭圆性质的综合应用题，解题时要注意公式的合理选取和灵活运用．