精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
设离心率的椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,P是x轴正半轴上一点,以PF1为直径的圆经过椭圆M短轴端点,且该圆和直线相切,过点P的直线与椭圆M相交于相异两点A、C.
(Ⅰ)求椭圆M的方程;
(Ⅱ)若相异两点A、B关于x轴对称,直线BC交x轴与点Q,求的取值范围.
【答案】分析:(Ⅰ)设以|PF1|为直径的圆经过椭圆M短轴端点N,则|NF1|=a,由可得a=2c,由此可得,再由|PF1|的长可判断F2为圆的圆心,根据圆与直线相切,可解得c值,从而可求得a,b;
(Ⅱ)设点A(x1,y1),C(x2,y2),易知点B(x1,-y1),设直线PA的方程为y=k(x-3),代入椭圆方程消掉y得x的二次方程,由△>0得k2范围,由点斜式写出直线BC的方程,令y=0,由韦达定理可得Q点横坐标,利用向量数量积运算及韦达定理可把表示为k的函数,由k2的范围即可求得的范围;
解答:解:(Ⅰ)设以|PF1|为直径的圆经过椭圆M短轴端点N,
∴|NF1|=a,∵,∴a=2c,
,|PF1|=2a.
∴F2(c,0)是以|PF1|为直径的圆的圆心,
∵该圆和直线相切,
,解得
∴椭圆M的方程为:
(Ⅱ)设点A(x1,y1),C(x2,y2),则点B(x1,-y1),
设直线PA的方程为y=k(x-3),
联立方程组,消掉y,化简整理得(4k2+3)x2-24k2x+36k2-12=0,
由△=(24k22-4•(3+4k2)•(36k2-12)>0,得

直线BC的方程为:
令y=0,则
∴Q点坐标为

=
=
=


点评:本题考查直线、椭圆方程及其位置关系,考查向量的数量积运算,考查函数思想,考查学生分析解决问题的能力,综合性强,难度较大,对能力要求较高.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•大连一模)设离心率e=
1
2
的椭圆M:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦点分别为F1、F2,P是x轴正半轴上一点,以PF1为直径的圆经过椭圆M短轴端点,且该圆和直线x+
3
y+3=0
相切,过点P直线椭圆M相交于相异两点A、C.
(Ⅰ)求椭圆M的方程;
(Ⅱ)若相异两点A、B关于x轴对称,直线BC交x轴与点Q,求Q点坐标.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•郑州二模)已知圆C的圆心为C(m,0),m<3,半径为
5
,圆C与离心率e>
1
2
的椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的其中一个公共点为A(3,l),F1,F2分别是椭圆的左、右焦点.
(I)求圆C的标准方程;
(II)若点P的坐标为(4,4),试探究直线PF1与圆C能否相切?若能,设直线PF1与椭圆E相交于A,B两点,求△ABF2的面积;若不能,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:安徽省高考真题 题型:解答题

已知椭圆(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆短半轴长半径的圆与直线y=x+2相切,
(Ⅰ)求a与b;
(Ⅱ)设该椭圆的左,右焦点分别为F1和F2,直线l1过F2且与x轴垂直,动直线l2与y轴垂直,l2交l1于点P,求线段PF1垂直平分线与l2的交点M的轨迹方程,并指明曲线类型。

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2013年辽宁省大连市高考数学一模试卷(文科)(解析版) 题型:解答题

设离心率的椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,P是x轴正半轴上一点,以PF1为直径的圆经过椭圆M短轴端点,且该圆和直线相切,过点P直线椭圆M相交于相异两点A、C.
(Ⅰ)求椭圆M的方程;
(Ⅱ)若相异两点A、B关于x轴对称,直线BC交x轴与点Q,求Q点坐标.

查看答案和解析>>

同步练习册答案