Question

定义在区间[0，a]上的函数f（x）的图象如图所示，记以A（0，f（0）），B（a，f（a）），C（x，f（x））为顶点的三角形的面积为S（x），则函数S（x）的导函数S′（x）的图象大致是（　　）

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

分析：先分析出函数S（x）的表达式为

1

2

|AB|•h，其中h为点C到直线AB的距离且|AB|为定值，再利用h在区间[0，a]上的变化情况，得出函数S（x）的增减变化，即可得到其导函数S′（x）的图象．

解答：解：连接AB，BC，CA，以AB为底，C到AB的距离为高h．让C从A运动到B，明显h是一个平滑的变化，这样S（x）也是平滑的变化．
因为函数S（x）=

1

2

|AB|•h，其中h为点C到直线AB的距离．|AB|为定值．
当点C在（0，x₁]时，h越来越大，s也越来越大，即原函数递增，故导函数为正；
当点C在[x₁，x₂）时，h越来越小，s也越来越小，即原函数递减，故导函数为负；变化率的绝对值由小边大；
当点C在（x₂，x₃]时，h越来越大，s也越来越大，即原函数递增，故导函数为正；变化率由大变小；
当点C在[x₃，a）时，h越来越小，s也越来越小，即原函数递减，故导函数为负．
故选 D．

点评：本题主要考查导函数与原函数单调性之间的关系．它们之间的关系是，原函数递增，导函数为正；原函数递减，导函数为负．