Question

（2012•宝鸡模拟）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量

m

=(a，-c)，

n

=(cosA，cosB)，

p

=(a，b)，

q

=(cos(B+C)，cosC)，

m

•

n

=

p

•

q

，a=

13

，c=4．
（1）求cosA的值；
（2）求边b的长．

Answer 1

分析：（1）由四个向量的坐标及

m

•

n

=

p

•

q

，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，利用诱导公式化简整理后，再利用正弦定理及两角和与差的正弦函数公式化简，根据sinA不为0，可得出cosA的值；
（2）由余弦定理表示出a²=b²+c²-2bccosA，将a，c及cosA的值代入可得出关于b的方程，求出方程的解即可得到b的值．

解答：解：（1）∵向量

m

=(a，-c)，

n

=(cosA，cosB)，

p

=(a，b)，

q

=(cos(B+C)，cosC)，

m

•

n

=

p

•

q

，
∴acosA-ccosB=acos（B+C）+bcosC=-acosA+bcosC，即2acosA=ccosB+bcosC，
由正弦定理得：2sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，∴cosA=

1

2

；
（2）由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，又a=

21

，c=4，cosA=

1

2

，
∴（

21

）²=b²+4²-2b×4×

1

2

，即b²-4b-5=0，
解得：b=5或b=-1（舍去），
则边b的长为5．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，诱导公式，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．