Question

8．如图1，已知四边形BCDE为直角梯形，∠B=90°，BE∥CD，且BE=2CD=2BC=2，A为BE的中点．将△EDA沿AD折到△PDA位置（如图2），连结PC，PB构成一个四棱锥P-ABCD．

（Ⅰ）求证AD⊥PB；
（Ⅱ）若PA⊥平面ABCD．
①求二面角B-PC-D的大小；
②在棱PC上存在点M，满足$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{PC}$（0≤λ≤1），使得直线AM与平面PBC所成的角为45°，求λ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出ABCD为平行四边形，AD∥BC，AD⊥BE，AD⊥AB，AD⊥PA，从而AD⊥平面PAB，由此能证明AD⊥PB．
（Ⅱ）①以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-PC-D的大小．
②求出平面PBC的法向量，由直线AM与平面PBC所成的角为45°，能求出λ的值．

解答 证明：（Ⅰ）在图1中，∵AB∥CD，AB=CD，
∴ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，
∵∠B=90°，∴AD⊥BE，
当△EDA沿AD折起时，AD⊥AB，AD⊥AE，即AD⊥AB，AD⊥PA，
又AB∩PA=A，∴AD⊥平面PAB，
又∵PB?平面PAB，∴AD⊥PB．
解：（Ⅱ）①以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），
$\overrightarrow{PC}$=（1，1，-1），$\overrightarrow{BC}$=（0，1，0），$\overrightarrow{DC}$=（1，0，0），
设平面PBC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{n}=x+y-z=0}\\{\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{n}=y=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
设平面PCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=a+b-c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DC}=a=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，1），
设二面角B-PC-D的大小为θ，
则cosθ=-$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{1}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=-$\frac{1}{2}$，∴θ=120°．
∴二面角B-PC-D的大小为120°．
②设AM与面PBC所成角为α，
$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PM}$=（0，0，1）+λ（1，1，-1）=（λ，λ，1-λ），
平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
∵直线AM与平面PBC所成的角为45°，
∴sinα=|cos＜$\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AM}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|λ+1-λ|}{\sqrt{2}•\sqrt{{λ}^{2}+{λ}^{2}+（1-λ）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得λ=0或$λ=\frac{2}{3}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的便于合理运用．