Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E是AC中点．
（1）求证：平面BEC₁⊥平面ACC₁A₁；
（2）求证：AB₁∥平面BEC₁；
（3）若

A1A

AB

=

2

2

，求二面角E-BC₁-C的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，知AA₁⊥平面ABC，BE⊥AA₁．由△ABC是正三角形，E是AC中点，知BE⊥平面ACC₁A₁．由此能够证明平面BEC₁⊥平面ACC₁A₁．
（Ⅱ）连B₁C，设BC₁∩B₁C=D．由ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，知BCC₁B₁是矩形，D是B₁C的中点．由E是AC的中点，知AB₁∥DE．由此能够证明AB₁∥平面BEC₁．
（Ⅲ）作CF⊥BC₁于F，FG⊥BC₁于G；连CG．由平面BEC₁⊥平面ACC₁A，知CF⊥平面BEC₁，故FG是CG在平面BEC₁上的射影．根据三垂线定理，知∠CGF是二面角E-BC₁-C的平面角，由此能求出二面角E-BC₁-C的大小．

解答：（Ⅰ）证明：∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
∴AA₁⊥平面ABC，
∴BE⊥AA₁．
∵△ABC是正三角形，E是AC中点，
∴BE⊥AC，
∴BE⊥平面ACC₁A₁．
∴BE?平面BEC₁
∴平面BEC₁⊥平面ACC₁A₁．…（4分）
（Ⅱ）证明：连B₁C，设BC₁∩B₁C=D．
∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
∴BCC₁B₁是矩形，D是B₁C的中点．
∵E是AC的中点，
∴AB₁∥DE．
∵DE?平面BEC₁，AB₁?平面BEC₁，
∴AB₁∥平面BEC₁．…（8分）
（Ⅲ）解：作CF⊥BC₁于F，FG⊥BC₁于G；连CG．
∵平面BEC₁⊥平面ACC₁A，
∴CF⊥平面BEC₁…（9分）
∴FG是CG在平面BEC₁上的射影．
根据三垂线定理得，CG⊥BC₁．
∴∠CGF是二面角E-BC₁-C的平面角．…（10分）
设AB=a，∵

A1A

AB

=

2

2

，则A1A=

2

2

a．
在Rt△ECC₁中，CF=

EC•CC1

EC1

=

6

6

a
在Rt△BCC₁中，CG=

BC•CC1

BC1

=

3

3

a．
在Rt△CFG中，∵sin∠CGF=

CF

CG

=

2

2

，
∴∠CGF=45°．
∴二面角E-BC₁-C的大小是45°…（12分）

点评：本题考查证明平面BEC₁⊥平面ACC₁A₁，求证AB₁∥平面BEC₁，求二面角E-BC₁-C的大小．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点，易错点是∠CGF是二面角E-BC₁-C的平面角的证明．解题时要认真审题，仔细解答．