【题目】设函数,其中为自然对数的底数.
(1)当时,判断函数的单调性;
(2)若直线是函数的切线,求实数的值;
(3)当时,证明:.
【答案】(1)在区间上单调递增.(2)(3)见证明
【解析】
(1)先由解析式,得到函数定义域,对函数求导,根据,即可得出结果;
(2)先设切点为,根据切线方程为,得到,再对函数求导,得到,设,用导数方法研究其单调性,得到最值,即可求出结果;
(3)先对函数求导,设,用导数方法研究单调性,进而可判断出单调性,即可得出结论成立.
解:(1)函数的定义域为.
因为,所以,
所以在区间上单调递增.
(2)设切点为,则,
因为,所以,得,
所以.
设,则,
所以当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
所以.
因为方程仅有一解,
所以.
(3)因为,
设,则,所以在单调递增.
因为,,
所以存在,使得.
当时,,,单调递减,
当时,,,单调递增,
所以.
因为,所以,,
所以.
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【题目】现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次,至少击中3次的概率:先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数,指定0,1表示没有击中目标,2,3,4,5,6,7, 8,9表示击中目标,以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了 20组随机数:
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为__________.
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【题目】如图为一块边长为2km的等边三角形地块ABC,为响应国家号召,现对这块地进行绿化改造,计划从BC的中点D出发引出两条成60°角的线段DE和DF,与AB和AC围成四边形区域AEDF,在该区域内种上草坪,其余区域修建成停车场,设∠BDE=.
(1)当=60°时,求绿化面积;
(2)试求地块的绿化面积的取值范围.
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【题目】在梯形中(图1),,,,过、分别作的垂线,垂足分别为、,且,将梯形沿、同侧折起,使得,且,得空间几何体 (图2).直线与平面所成角的正切值是.
(1)求证:平面;
(2)求多面体的体积.
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【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程]
已知曲线的极坐标方程为.以极点为原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线的参数方程为(为参数).
(1)求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;
(2)求直线被曲线所截得的弦长.
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【题目】某校学生社团组织活动丰富,学生会为了解同学对社团活动的满意程度,随机选取了100位同学进行问卷调查,并将问卷中的这100人根据其满意度评分值(百分制)按照[40,50),[50,60),[60,70),…,[90,100]分成6组,制成如图所示频率分布直方图.
(1)求图中x的值;
(2)求这组数据的中位数;
(3)现从被调查的问卷满意度评分值在[60,80)的学生中按分层抽样的方法抽取5人进行座谈了解,再从这5人中随机抽取2人作主题发言,求抽取的2人恰在同一组的概率.
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【题目】某公司研发了两种具有自主知识产权的操作系统,分别命名为“天下”、“东方”.这两套操作系统均适用于手机、电脑、车联网、物联网等,且较国际同类操作系统更加流畅.
(1)为了解喜欢“天下”系统是否与性别有关,随机调查了名男用户和名女用户,每位用户对“天下”系统给出喜欢或不喜欢的评价,得到下面列联表:
请问:能否有的把握认为男、女用户对“天下”系统的喜欢有差异?
附:.
(2)该公司选定万名用户对“天下”和“东方”操作系统(以下简称“天下”、“东方”)进行测试,每个用户只能从“天下”或“东方”中选择一个使用,每经过一个月后就给用户一次重新选择“天下”或“东方”的机会.这个月选择“天下”的用户在下个月选择“天下”的概率均为,选择“东方”的概率均为,;这个月选择“东方”的用户在下个月选择“天下”的概率均为,选择“东方”的概率均为,.记表示第个月用户选择“天下”的概率,已知,,,,.
(ⅰ)求的值;
(ⅱ)证明:数列()为等比数列;
(ⅲ)预测选择“天下”操作系统的用户数量不超过多少万人.(精确到1万)
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【题目】已知某商品每件的生产成本(元)与销售价格(元)具有线性相关关系,对应数据如表所示:
(元) | 5 | 6 | 7 | 8 |
(元) | 15 | 17 | 21 | 27 |
(1)求出关于的线性回归方程;
(2)若该商品的月销售量(千件)与生产成本(元)的关系为,,根据(1)中求出的线性回归方程,预测当为何值时,该商品的月销售额最大.
附:,.
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