Question

已知整数列{a_n}满足a₃=-1，a₇=4，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求出所有的正整数m，使得a_m+a_m+1+a_m+2=a_ma_m+1a_m+2．

Answer 1

解（1）设数列前6项的公差为d，d为整数，则a₅=-1+2d，a₆=-1+3d，d为整数，
又a₅，a₆，a₇成等比数列，
所以（3d-1）³=4（2d-1），解得d=1，-------4分
当n≤4时，a_n=n-4，
由此a₅=1，a₆=2，数列第5项起构成以2为公比的等比数列．
当n≥5时，a_n=2^n-5，
故通项公式为，-------------------------------------8分
（2）由（1）知数列{a_n}为：-3，-2，-1，0，1，2，4，8，16，…
当m=1时等式成立，即-3-2-1=-6=（-3）（-2）（-1）；等式成立．
当m=3时等式成立，即-1+0+1=0；等式成立．
当m=2、4时等式不成立；--------------------------------------------------12分
当m≥5时，即a_m+a_m+1+a_m+2=2^m-5（2³-1），a_ma_m+1a_m+2=2^3m-12．
所以a_m+a_m+1+a_m+2≠a_ma_m+1a_m+2．；
故所求的m=1，或m=3------------------------------------------------------15分
分析：（1）由题意设数列前6项的公差为d，d为整数，表示出a₅，a₆，利用a₅，a₆，a₇成等比数列，求出d，推出n≤6时等差数列的通项公式，n≥5数列{a_n}的通项公式；
（2）验证正整数m=1，2，3，4，时，等式a_m+a_m+1+a_m+2=a_ma_m+1a_m+2是否成立，m≥5时，验证等式的左边的值与右侧的值是否相同即可，得到结论．
点评：本题考查等比数列的判断，通项公式的求法，考查数列的函数的特征，注意数列的前提条件的应用，注意验证法在解题中的应用，注意分类讨论的思想．