Question

2．若存在x∈[1，3]，使得lnx+ax≥0成立，则实数a的取值范围是[-$\frac{1}{e}$，+∞）．

Answer 1

分析 存在x∈[1，3]，使得lnx+ax≥0成立等价于存在x∈[1，3]，使得a≥-$\frac{lnx}{x}$成立，构造函数设f（x）=-$\frac{lnx}{x}$，x∈[1，3]，求出函数f（x）的最小值即可．

解答 解：存在x∈[1，3]，使得lnx+ax≥0成立，
等价于存在x∈[1，3]，使得a≥-$\frac{lnx}{x}$成立，
设f（x）=-$\frac{lnx}{x}$，x∈[1，3]，
∴a≥f（x）_min，
∴f′（x）=$\frac{lnx-1}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，解得x=e，
当f′（x）＞0，解得e＜x≤3，函数单调递增，
当f′（x）＞0，解得1≤x＜e，函数单调递减，
所以当x=e时，函数有最小值，f（e）=-$\frac{1}{e}$，
所以a≥-$\frac{1}{e}$，
故答案为：[-$\frac{1}{e}$，+∞）．

点评 本题考查了导数和函数的最值的关系，以及存在性问题，培养了化归思想想，属于中档题．