Question

已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线；设为曲线上的一个不在轴上的动点，为坐标原点，过点作的平行线交曲线于两个不同的点.
（1）求曲线的方程；
（2）试探究和的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明理由；
（3）记的面积为，的面积为，令，求的最大值.

Answer 1

（1）圆心的轨迹：；
（2）和的比值为一个常数，这个常数为；
（3）当时，取最大值.

试题解析：（1）设圆心的坐标为，半径为 
由于动圆与圆相切，且与圆相内切，所以动
圆与圆只能内切
                               2分
圆心的轨迹为以为焦点的椭圆，其中，

故圆心的轨迹：                                             4分
（2）设，直线，则直线
由可得：，
                       6分
由可得：


                        8分

和的比值为一个常数，这个常数为                            9分
（3），的面积的面积，
到直线的距离
                     11分
令，则

（当且仅当，即，亦即时取等号）
当时，取最大值                                13分