练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

    已知A、D分别为椭圆E： 的左顶点与上顶点，椭圆的离心率，F1­、F2为椭圆的左、右焦点，点P是线段AD上的任一点，且的最大值为1 ．

    （1）求椭圆E的方程；

    （2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且OAOB（O为坐标原点），若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；

    （3）设直线l与圆相切于A1，且l与椭圆E有且仅有一个公共点B1，当R为何值时，|A1B1|取得最大值？并求最大值．

     

    【答案】

    （1）；（2）存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B；（3）1.

    【解析】本试题主要是考查了椭圆的 方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的运用并结合了直线与圆的位置关系来考查线段长度的最值问题的运用。

    （1）设P (x，y)，F1 (–c，0)，F2（c，0），其中

    则

    看作线段AD上的点P (x，y)到原点距离的平方，

    ∴P在A点，x2 + y2最大，∴a2 – c2 = 1，

    又．………………4分

    （2）由（1）知椭圆方程为，

    ①设圆心在原点的圆的一条切线为y = kx + t，．

    解方程组……………5分

    要使切线与椭圆恒有两个交点A， B，则使

    即，………………………………6分

    要使

    所以5t2 – 4k2 – 4 = 0，即5t2 = 4k2 + 4且t2＜4k2 + 1，即4k2 + 4＜20k2 + 5恒成立．

    又因为直线y = kx + t为圆心在原点的圆的一条切线，

    所以圆的半径为r =……………7分

    ②当切线的斜率不存在时，切线为满足．

    综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B．                        ……………………8分

    （3）设直线l的方程为y = mx + n，因为直线l与圆C：x2 + y2 = R2 (1＜R＜2)相切于A1，

    由（2）知  ①，    因为l与椭圆只有一个公共点B1，由（2）知有唯一解，

    则即4m2 – n2 + 1 = 0，   ②

    由①②得此时A，B重合为B1 (x1，y1)点，由x1 = x2，所以B1 (x1，y1)点在椭圆上，所以

    ，在直角三角形OA1B1中，|A1B1|2 = |OB1|2 – |OA1|2 =

    5

    因为时取等号，所以

    即当时|A1B1|取得最大值，最大值为1．………………………………13分

     

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知A、D分别为椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的左顶点与上顶点，椭圆的离心率e=
    		3
    2
    ，F1、F2为椭圆的左、右焦点，点P是线段AD上的任一点，且
    PF1
    ．
    PF2
    的最大值为1．
    （1）求椭圆E的方程．
    （2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB（O为坐标原点），若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．
    （3）设直线l与圆C：x2+y2=R2（1＜R＜2）相切于A1，且l与椭圆E有且仅有一个公共点B1，当R为何值时，|A1B1|取最大值？并求最大值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，已知A，B分别为椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞)    的右顶点和上顶点，直线 l∥AB，l与x轴、y轴分别交于C，D两点，直线CE，DF为椭圆的切线，则CE与DF的斜率之积kCE?kDF等于（　　）
    A、±
    a2
    b2
    B、±
    a2-b2
    a2
    C、±
    b2
    a2
    D、±
    a2-b2
    b2

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：2013-2014学年人教版高考数学文科二轮专题复习提分训练22练习卷（解析版） 题型：选择题

    已知A、B分别为椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点,C(0,b),直线l:x=2a与x轴交于点D,与直线AC交于点P,若∠DBP=,则此椭圆的离心率为(　　)

    (A) (B) (C) (D)

     

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：2009-2010学年湖南省长沙一中高三（下）第九次月考数学试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

    已知A、D分别为椭圆E：=1（a＞b＞0）的左顶点与上顶点，椭圆的离心率e=，F1、F2为椭圆的左、右焦点，点P是线段AD上的任一点，且的最大值为1．
    （1）求椭圆E的方程．
    （2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB（O为坐标原点），若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．
    （3）设直线l与圆C：x2+y2=R2（1＜R＜2）相切于A1，且l与椭圆E有且仅有一个公共点B1，当R为何值时，|A1B1|取最大值？并求最大值．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案