Question

对于函数f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，则称x₀为函数f（x）的不动点．已知f（x）=x²+bx+c
（1）当b=2，c=-6时，求函数f（x）的不动点；
（2）已知f（x）有两个不动点为，求函数y=f（x）的零点；
（3）在（2）的条件下，求不等式f（x）＞0的解集．

Answer 1

解：（1）f（x）=x²+2x-6，
由f（x）=x
∴x²+x-6=0
∴（x-2）（x+3）=0
∴x=2或x=-3
∴f（x）的不动点为2或-3
（2）∵f（x）有两个不动点，即f（x）=x有两个根
∴x²+（b-1）x+c=0
∵，
∴b=1，c=-2
∴f（x）=x²+x-2
令f（x）=0
即（x+2）（x-1）=0
解得x=-2或x=1
∴f（x）的零点为x=1或x=-2
（3）f（x）＞0
∴（x+2）（x-1）＞0
∴x＞1或x＜-2
∴f（x）＞0的解集为（-∞，-2）∪（1，+∞）
分析：（1）设x为不动点，则有f（x）=x，变形为x²+x-6=0，解方程即可．
（2）根据题中条件：“f（x）有两个不动点f（x）=x有两个根”得x²+（b-1）x+c=0利用根与系数的关系得出b，c的值，最后解方程f（x）=0即可得出f（x）的零点．
（3）由题意得f（x）＞0即（x+2）（x-1）＞0，解之即可．
点评：本题主要考查的知识点是二次函数的性质，方程的解法，方程根的情况以及函数的零点．其中根据已知中的新定义，构造满足条件的方程是解答本题的关键．