Question

我们可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得线段的比都为k，那么甲的面积是乙的面积的k倍．你可以从给出的简单图形①、②中体会这个原理．现在图③中的曲线分别是

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）与x²+y²=a²，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为

abπ

．

Answer 1

分析：根据拨给原理的条件，先用平行于y轴的直线截椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1与圆x²+y²=a²，可得出所截得线段的比都为

b

a

，再
根据所给的原理可知，椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的面积是圆x²+y²=a²的面积的

b

a

倍．从而结合圆x²+y²=a²的面积公式即可得出椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的面积．

解答：解：图③中的曲线分别是

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）与x²+y²=a²，如果用平行于y轴的直线截椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1与圆x²+y²=a²，所截得线段的比都为

b

a

，
根据所给的原理可知，椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的面积是圆x²+y²=a²的面积的

b

a

倍．
又圆x²+y²=a²的面积为a²π，
∴椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的面积是a²π×

b

a

=abπ．
故答案为：abπ．

点评：本题主要考查了类比推理，考查了新原理的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，属于基础题．